1. Nguyên Hàm - Tích Phân - Ứng Dụng

Bài 2: Tích Phân

Written by Posted on Less than 0 min read

Khái niệm

Định nghĩa:

     Cho hàm số f(x) liên tục trên K và a,b \in K. Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K thì hiệu số F(b)-F(a) được gọi là tích phân của f từ a đến b.

    Kí hiệu:\int_{a}^{b}f(x)dx

    Khi a<b, ta gọi \int_{a}^{b}f(x)dx là tích phân của f trên đoạn [a;b].

    Người ta còn dùng kí hiệu {F(x)|}^{b}_{a} để chỉ hiệu số F(b)-F(a).

    Như vậy nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K thì:

\int_{a}^{b}f(x)dx={F(x)}|_{a}^{b}=F(b)-F(a)

(Công thức Newton – Leibniz) 

Trong đó:

  • a,b: cận tích phân với số a: cận dưới và số b: cận trên
  • f là hàm dưới dấu tích phân
  • f ( x ) dx là biểu thức dưới dấu tích phân
  • x gọi là biến số lấy tích phân

 

Chú ý:

\int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{a}^{b}f(t)dt=\int_{a}^{b}f(u)du... vì chúng đều chỉ hiệu số F(b)-F(a).

 

Một số tính chất cơ bản của tích phân

Giả sử các hàm số f,g liên tục trên K và a,b,c \in K, khi\\\\1. \int_{a}^{a}f(x)dx=0 \\\\2. \int_{a}^{b}f(x)dx=-\int_{b}^{a}f(x)dx \\\\3. \int_{a}^{b}f(x)dx+\int_{b}^{c}f(x)dx=\int_{a}^{c}f(x)dx \\\\4. \int_{a}^{b}[f(x)\pm g(x)]dx=\int_{a}^{b}f(x)dx\pm\int_{a}^{b}g(x)dx \\\\5.\ \forall k \in \mathbb{R}:\int_{a}^{b}kf(x)dx=k\int_{a}^{b}f(x)dx

 

Ví dụ 1: Tính \int_{1}^{2}(3x^2-2x+3)dx

Bài giải

\int_{1}^{2}(3x^2-2x+3)dx=(x^3-x^2+3x+C)|_{1}^{2}=10-3=7

 

Một số phương pháp tính tích phân

Phương pháp đổi biến số

\int_{a}^{b}f[u(x)]u'(x)dx=\int_{u(a)}^{u(b)}f(u)du

    Trong đó hàm số u=u(x) có đạo hàm liên tục trên K,hàm số y=f(u) liên tục sao cho hàm hợp f[u(x)] xác định trên K với a,b \in K.

Đổi biến dạng 1 

Đối với tích phân dạng \int_{a}^{b}f[u(x)].u'(x)dx, ta làm như sau:

  1. Đặt t=u(x).Tính dt theo dx
  2. Đổi cận: x=a\Rightarrow t=u(a); x=b\Rightarrow t=u(b)
  3. Thay vào, ta được \int_{a}^{b}f[u(x)].u'(x)dx=\int_{u(a)}^{u(b)}f(t)dt
  4. Tính tích phân trên ta được tích phân cần tìm

Ví dụ 2: Tính \int_{1}^{2}x\sqrt{x^2+3}dx

Bài giải

Đặt t=x^2+3\Rightarrow dt=2xdx\Rightarrow xdx=\frac{dt}{2}

\\x=1\Rightarrow t=4\\x=2\Rightarrow t=7

Khi đó

\int_{1}^{2}x\sqrt{x^2+3}dx=\int_{4}^{7}\frac{\sqrt{t}}{2}dt\left.\begin{matrix} =\frac{t\sqrt{t}}{3} \end{matrix}\right|_4^7=\frac{7\sqrt7}{3}-\frac{8}{3}

 

Đổi biến dạng 2

Đối với tích phân dạng \int_{a}^{b}f(x)dx với f(x) là hàm số liên tục trên [a;b], ta làm như sau:

  1. Đặt x=u(t).Tính dx theo dt
  2. Đổi cận
  3. Thay vào, ta được \int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{\alpha}^{\beta}f[u(x)].u'(x)dx=\int_{\alpha}^{\beta}g(t)dt
  4. Tính tích phân trên ta được tích phân cần tìm

Ví dụ 3: Tính \int_{0}^{\frac{1}{2}}\sqrt{1-x^2}dx

Bài giải

Đặt

x=\sin{t}\Rightarrow \textup{dx}=\cos{t}\ \textup{dt}

Đổi cận:

x=0\Rightarrow t=0; x=\frac{1}{2}\Rightarrow t=\frac{\pi}{6}

Khi đó:

\int_{0}^{\frac{1}{2}}\sqrt{1-x^2}dx

=\int_{0}^{\frac{\pi}{6}}\sqrt{1-\sin^2{t}}\cos{t}dt

=\int_{0}^{\frac{\pi}{6}}\cos^2{t}.dt

=\frac{\pi}{12}+\frac{\sqrt{3}}{8}

 

Phương pháp tích phân từng phần

    Nếu u,v là hai hàm số có đạo hàm và liên tục trên K và a,b \in K thì:

\int_{a}^{b}\textup{udv}=\left.\begin{matrix} [\textup{uv}] \end{matrix}\right|_{a}^{b}-\int_{a}^{b}\textup{vdu}

Ví dụ 4: Tính tích phân \int_{1}^{2}2x\ln{x}dx

Bài giải

\int_{1}^{2}2x\ln{x}dx=\left.\begin{matrix}x^2\ln{x}\end{matrix}\right|_{1}^{2}-\int_{1}^{2}xdx

=4\ln{2}-\frac{3}{2}

 

Lưu ý:

  • Gặp tích phân

\int_{a}^{b}P(x).[e^{kx},\cos{kx},\sin{kx}]dx,

Ta đặt:

\left\{\begin{matrix} u=P(x)\\ v'=[e^{kx},\cos{kx},\sin{kx}] \end{matrix}\right.

  • Gặp tích phân

\int_{a}^{b}P(x).\ln{x}dx,

Ta đặt:

\left\{\begin{matrix} u=\ln{x}\\ v'=P(x) \end{matrix}\right.

Thành viên kể từ
Người đóng góp
People reacted to this story.
Show comments Hide comments
Comments to: Bài 2: Tích Phân
  • boybanhbeo Tháng Một 30, 2020

    Cảm ơn tác giả vì bài viết rất hữu ích ạ, nhưng mà nếu có thêm bài tập thì sẽ tốt hơn

    • davidle2810 Tháng Hai 19, 2020

      Chào bạn, mình sẽ thêm bài tập trong thời gian sớm nhất nhé

Write a response