Bài 2: Bất phương trình và hệ bất phương trình một ẩn

Khái niệm bất phương trình một ẩn

- Bất phương trình một ẩn là một mệnh đề chứa biến có một trong các dạng $f(x)>g(x),f(x)<g(x) , f(x)\geqslant g(x),f(x)\leqslant g(x)$ trong đó $f(x),g(x)$ là các biểu thức chứa cùng một biến $x$ .

- Điều kiện xác định của bất phương trình (ĐKXĐ) là điều kiện của biến số $x$ để các biểu thức $f(x),g(x)$ có nghĩa.

Giá trị $x_0$ thỏa mãn ĐKXĐ làm cho $f(x_0)<g(x_0)$ là một mệnh đề đúng thì $x_0$ là một nghiệm của bất phương trình $f(x)<g(x)$ .

Tương tự đối với phương trình, ta gọi các điền kiện của ẩn số $x$ để $f(x)$ và $g(x)$ có nghĩa là điều kiện xác định (hay gọi tắt là điều kiện) của bất phương trình đó.

Ví dụ: $(2m-1)x + 3 <0$ thì được gọi bất phương trình có chứa ẩn $x$ tham số $m$

- Hệ bất phương trình ẩn $x$ gồm 1 số bất phương trình ẩn $x$ mà ta phải tìm các nghiệm chung của chúng.

- Mỗi giá trị của $x$ đồng thời là nghiệm của tất cả các bất phương trình của hệ được gọi là một nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

- Giải hệ bất phương trình là tìm tập nghiệm của bất phương trình hay tìm các giá trị $x$ thoả mãn bất phương trình đó.

Để giải hệ gồm nhiều bất phương trình thì ta giải từng bất phương trình rối lấy giao của các tập nghiệm.

Ta đã biết hai bất phương trình có cùng tập nghiệm (có thể rỗng) là 2 bất phương trình tương đương và dùng kí hiệu “⇔” để chỉ sự tương đương của hai bất phương trình đó.

Tương tự, khi hai bất phương trình có cùng 1 tập nghiệm ta cũng nói chúng tương đương với nhau và dùng kí hiệu “⇔” để chỉ sự tương đương đó.

- Để giải 1 bất phương trình (hệ bất phương trình), ta liên tiếp biến đổi nó thành những bất phương trình (hệ bất phương trình) tương đương cho đến khi được bất phương trình (hệ bất phương trình) đơn giản nhất mà ta có thể viết ngay tập nghiệm.

- Cộng hoặc trừ hai vế của bất phương trình với cùng 1 biểu thức mà không làm thay đổi điều kiện của bất phương trình ta được 1 bất phương trình tương đương

- Bình phương 2 vế của 1 bất phương trình có hai vế không âm mà không làm thay đổi điều kiện của nó thì ta được 1 bất phương trình tương đương

Khi biến đổi các biểu thức ở hai vế của 1 bất phương trình thì điều kiện của bất phương trình có thể bị thay đổi.
Vì vậy để tìm nghiệm của 1 bất phương trình ta phải tìm các giá trị của x thoả mãn điều kiện của bất phương trình đó và là nghiệm của bất phương trình mới.
Khi nhân (chia) hai vế của bất phương trình $P(x) < Q(x)$ với biểu thức $f(x)$ ta cần lưu ý đến điều kiện của dấu $f(x)$ . Nếu $f(x)$ nhận các giá trị dương lẫn giá trị âm đến một hệ bất phương trình.
Khi giải bất phương trình mà phải bình phương 2 vế thì ta lần lượt xét 2 trường hợp sau:
- TH1: $P(x), Q(x)$ cùng có giá trị không âm, ta phải bình phương 2 vế bất phương trình.
- TH2: $P(x), Q(x)$ cùng có giá trị âm ta viết: $P(x) < Q(x)\Leftrightarrow -Q(x) < -P(x)$ rồi bình phương hai vế bất phương trình mới.