Khái niệm bất phương trình một ẩn

Bất phương trình một ẩn

    • Bất phương trình một ẩn là một mệnh đề chứa biến có một trong các dạng f(x)>g(x),f(x)<g(x) , f(x)\geqslant g(x),f(x)\leqslant g(x) trong đó f(x),g(x) là các biểu thức chứa cùng một biến x.

 

    • Điều kiện xác định của bất phương trình (ĐKXĐ) là điều kiện của biến số x để các biểu thức f(x),g(x) có nghĩa.

 

  • Giá trị x_0 thỏa mãn ĐKXĐ làm cho f(x_0)<g(x_0) là một mệnh đề đúng thì x_0 là một nghiệm của bất phương trình f(x)<g(x).

Điều kiện của một bất phương trình

  • Tương tự đối với phương trình, ta gọi các điền kiện của ẩn số x để f(x)g(x) có nghĩa là điều kiện xác định (hay gọi tắt là điều kiện) của bất phương trình đó.

Bất phương trình chứa tham số

  • Ví dụ: (2m-1)x + 3 <0 thì được gọi bất phương trình có chứa ẩn x tham số m

Hệ bất phương trình một ẩn

    • Hệ bất phương trình ẩn x gồm 1 số bất phương trình ẩn x mà ta phải tìm các nghiệm chung của chúng.

 

    • Mỗi giá trị của x đồng thời là nghiệm của tất cả các bất phương trình của hệ được gọi là một nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

 

    • Giải hệ bất phương trình là tìm tập nghiệm của bất phương trình hay tìm các giá trị x thoả mãn bất phương trình đó.

 

  • Để giải hệ gồm nhiều bất phương trình thì ta giải từng bất phương trình rối lấy giao của các tập nghiệm.

Một số phép biến đổi

Bất phương trình tương đương

  • Ta đã biết hai bất phương trình có cùng tập nghiệm (có thể rỗng) là 2 bất phương trình tương đương và dùng kí hiệu “⇔” để chỉ sự tương đương của hai bất phương trình đó.
  • Tương tự, khi hai bất phương trình có cùng 1 tập nghiệm ta cũng nói chúng tương đương với nhau và dùng kí hiệu “⇔” để chỉ sự tương đương đó.

Phép biến đổi tương đương

    • Để giải 1 bất phương trình (hệ bất phương trình), ta liên tiếp biến đổi nó thành những bất phương trình (hệ bất phương trình) tương đương cho đến khi được bất phương trình (hệ bất phương trình) đơn giản nhất mà ta có thể viết ngay tập nghiệm.

 

  • Các phép biến đổi như vậy được gọi là phép biến đổi tương đương
Cộng (trừ)
    • Cộng hoặc trừ hai vế của bất phương trình với cùng 1 biểu thức mà không làm thay đổi điều kiện của bất phương trình ta được 1 bất phương trình tương đương

 

  • P(x) < Q(x) \Leftrightarrow P(x) \pm f(x) < Q(x) \pm f(x)
Nhân (chia)
  • P(x) < Q(x) \Leftrightarrow P(x).f(x) < Q(x).f(x) nếu f(x)>0x
  • P(x) < Q(x) \Leftrightarrow P(x).f(x) > Q(x).f(x) nếu f(x)<0 ∀x
Bình phương
    • Bình phương 2 vế của 1 bất phương trình có hai vế không âm mà không làm thay đổi điều kiện của nó thì ta được 1 bất phương trình tương đương

 

  • P(x)<Q(x)\Leftrightarrow P^2(x)<Q^2(x), P(x)\geq Q(x) \geq0, \forall x

Chú ý

  • Khi biến đổi các biểu thức ở hai vế của 1 bất phương trình thì điều kiện của bất phương trình có thể bị thay đổi.
  • Vì vậy để tìm nghiệm của 1 bất phương trình ta phải tìm các giá trị của x thoả mãn điều kiện của bất phương trình đólà nghiệm của bất phương trình mới.
  • Khi nhân (chia) hai vế của bất phương trình P(x) < Q(x) với biểu thức f(x) ta cần lưu ý đến điều kiện của dấu f(x). Nếu f(x) nhận các giá trị dương lẫn giá trị âm đến một hệ bất phương trình.
  • Khi giải bất phương trình P(x) < Q(x) mà phải bình phương 2 vế thì ta lần lượt xét 2 trường hợp sau:
    • TH1: P(x), Q(x) cùng có giá trị không âm, ta phải bình phương 2 vế bất phương trình.
    • TH2: P(x), Q(x) cùng có giá trị âm ta viết: P(x) < Q(x)\Leftrightarrow -Q(x) < -P(x) rồi bình phương hai vế bất phương trình mới.

Bài tập

Bài 1: Giải các bất phương trình và hệ bất phương trình sau:

a)

3-\frac{2x+1}{5}>x+\frac{3}{4}\; \; \; (1)

Lời giải:

(1)\Leftrightarrow 3-\frac{3}{4}>x+\frac{2x+1}{5}

\Leftrightarrow \frac{9}{4}>\frac{7x+1}{5}

\Leftrightarrow 45>4(7x+1)

\Leftrightarrow 4(7x+1)<45

\Leftrightarrow 28x+4<45

\Leftrightarrow 28x<41

\Leftrightarrow x<\frac{41}{28}

Vậy tập nghiệm của bất phương trình (1) là S=(-\infty ;\frac{41}{28})

b)

x^2-4x+3<0

Lời giải:

Xem Tại đây

c)

\left\{\begin{matrix} x^2-4x<5\\ x+1>3 \end{matrix}\right.

Lời giải:

Xem Tại đây

Bài 2: Giải bất phương trình sau:

\frac{3-2\sqrt{x^2+3x+2}}{1-2\sqrt{x^2-x+1}}>1

Lời giải:

Xem Tại đây

Người đóng góp
Không có bình luận
Viết một bình luận Cancel
Comments to: Bài 2: Bất phương trình và hệ bất phương trình một ẩn

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Attach images - Only PNG, JPG, JPEG and GIF are supported.