Bài 1: Hệ tọa độ trong không gian

Hệ gồm 3 trục tọa độ $Ox, Oy,Oz$ đôi một vuông góc được gọi là hệ trục tọa độ vuông góc trong không gian

Thuật ngữ và kí hiệu

Ta thường gọi các vector đơn vị trên các trục $Ox, Oy,Oz$ lần lượt là $\vec{i},\vec{j},\vec{k}$ .

Trong đó: $\vec{i}=(1;0;0), \vec{j}=(0;1;0),\vec{k}=(0;0;1)$

Điểm O là gốc tọa độ, $Ox$ gọi là trục hoành, $Oy$ gọi là trục tung, $Oz$ gọi là trục cao.

Các mặt phẳng đi qua 2 trục tọa độ gọi là mặt phẳng tọa độ, kí hiệu là $(Oxy), (Oyz)$ và $(Oxz)$ .

Chú ý:

$\vec{i}\ ^2=\vec{j}\ ^2=\vec{k}\ ^2=1$

$\vec{i}.\vec{j}=\vec{j}.\vec{k}=\vec{i}.\vec{k}=0$

Tọa độ của điểm

Trong không gian $Oxyz$ , với mỗi điểm $M$ tồn tai duy nhất bộ ba số $(x;y;z)$ với $x,y,z\in \mathbb{R}$ , sao cho $\overrightarrow{OM}=x\vec{i}+y\vec{j}+z\vec{k}$ . Khi đó, bộ ba $(x;y;z)$ được gọi là tọa độ của điểm $M$ .

Kí hiệu: $M(x;y;z)$ .

Trong đó, $x$ được gọi là hoành độ, $y$ gọi là tung độ, $z$ gọi là cao độ.

Chú ý:

$\\M \in Ox \Leftrightarrow M(x;0;0) \\M \in Oy \Leftrightarrow M(0;y;0) \\M \in Oz \Leftrightarrow M(0;0;z)$

Tọa độ của vector

Định nghĩa

Trong không gian $Oxyz$ , với mỗi vector $\vec{a}$ tồn tai duy nhất bộ ba số $(a_1;a_2;a_3)$ với $a_1,a_2,a_3\in \mathbb{R}$ , sao cho

$\vec{a}=a_{1}\vec{i}+a_{2}\vec{j}+a_{3}\vec{k}$ .

Khi đó, bộ ba $(a_1;a_2;a_3)$ được gọi là tọa độ của vector $\vec{a}$ . Kí hiệu: $\vec{a}=(a_1;a_2;a_3)$ .

Tính chất

Cho 2 vector $\vec{a}=(a_1;a_2;a_3)$ và $\vec{b}=(b_1;b_2;b_3)$

$\vec{a}=\vec{b}\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a_1=b_1\\ a_2=b_2 \\ a_3=b_3 \end{matrix}\right.$

$\vec{a} \pm \vec{b}=\left ( a_1\pm b_1;a_2 \pm b_2;a_3 \pm b_3 \right )$

$k\vec{a}=(ka_1;ka_2;ka_3)$ với $k \in \mathbb{R}$

$\vec{a}.\vec{b}=a_1.b_1+a_2.b_2+a_3.b_3$

$\left | \vec{a} \right |=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}$

$\cos{(\vec{a},\vec{b})}=\frac{a_1.b_1+a_2.b_2+a_3.b_3}{\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}.\sqrt{b_1^2+b_2^2+b_3^2}}$ với $\vec{a}\neq \vec{0}, \vec{b}\neq \vec{0}$

$\vec{a} \bot \vec{b}\Leftrightarrow \vec{a}.\vec{b}=0\Leftrightarrow a_1.b_1+a_2.b_2+a_3.b_3=0$

Ví dụ 1: Trong không gian $Oxyz$ cho 3 vector $\vec{a}=(5;7;2)$ , $\vec{b}=(3;0;4)$ , $\vec{c}=(-6;1;-1)$ . Tìm tọa độ và độ dài vector $\overrightarrow{m}=3\vec{a}-2\vec{b}+\vec{c}$

Bài giải

$\overrightarrow{m}=3\vec{a}-2\vec{b}+\vec{c}\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x_{\overrightarrow{m}}=3x_{\overrightarrow{a}}-2x_{\overrightarrow{b}}+x_{\overrightarrow{c}}=3.5-2.3-6=3\\ y_{\overrightarrow{m}}=3y_{\overrightarrow{a}}-2y_{\overrightarrow{b}}+y_{\overrightarrow{c}}=3.7-2.0+1=22\\ z_{\overrightarrow{m}}=3z_{\overrightarrow{a}}-2z_{\overrightarrow{b}}+z_{\overrightarrow{c}}=3.2-2.4-1=-3 \end{matrix}\right.$

Vậy $\overrightarrow{m}=(3;22;-3)\Rightarrow \left | \overrightarrow{m} \right |=\sqrt{3^2+22^2+(-3)^2}=\sqrt{502}$

Mối liên hệ giữa điểm và vector

Cho hai điểm $A(x_A,y_A,z_A)$ và $B(x_B,y_B,z_B)$ , khi đó:

$\overrightarrow{AB}=(x_B-x_A;y_B-y_A;z_B-z_A)$

$\left | \overrightarrow{AB} \right |=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2+(z_B-z_A)^2}$

Tích có hướng của hai vector

Định nghĩa

Cho 2 vector $\vec{a}=(a_1;a_2;a_3)$ và $\vec{b}=(b_1;b_2;b_3)$ . Tích có hướng của hai vector $\vec{a}$ và $\vec{b}$ , kí hiệu là $\begin{bmatrix} \vec{a},\vec{b} \end{bmatrix}$ , có tọa độ là:

$\begin{bmatrix} \vec{a},\vec{b} \end{bmatrix}=\left ( \begin{vmatrix} a_2 &a_3 \\ b_2 &b_3 \end{vmatrix}; \begin{vmatrix} a_3 & a_1\\ b_3 & b_1 \end{vmatrix}; \begin{vmatrix} a_1 &a_2 \\ b_1 &b_2 \end{vmatrix} \right )=\left ( a_2b_3-a_3b_2;a_3b_1-a_1b_3;a_1b_2-a_2b_1 \right )$

(Cách nhớ: Lấy chỗ nào che chổ đó)

Nhận xét:

$\begin{bmatrix} \vec{i},\vec{j} \end{bmatrix}=\vec{k}; \begin{bmatrix} \vec{j},\vec{k} \end{bmatrix}=\vec{i}; \begin{bmatrix} \vec{i},\vec{k} \end{bmatrix}=\vec{j}$

Tính chất

$\vec{a}$ cùng phương $\vec{b}$ $\Leftrightarrow \begin{bmatrix} \vec{a},\vec{b} \end{bmatrix}=0$
$\begin{bmatrix} \vec{a},\vec{b} \end{bmatrix}\bot \vec{a}; \begin{bmatrix} \vec{a},\vec{b} \end{bmatrix}\bot \vec{b};$
$\begin{vmatrix} \begin{bmatrix} \vec{a},\vec{b} \end{bmatrix} \end{vmatrix}=\left | \vec{a} \right |.\left | \vec{b} \right |.\sin{\left ( \vec{a},\vec{b} \right )}$

Ứng dụng của tích có hướng

Xét sự đồng phẳng của 3 vector: $\vec{a},\ \vec{b},\ \vec{c}$ đồng phẳng $\Leftrightarrow \begin{bmatrix} \vec{a},\vec{b} \end{bmatrix}.\vec{c}=0$

Diện tích hình bình hành ABCD:

$S_{ABCD}=\left | \begin{bmatrix} \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD} \end{bmatrix} \right |$

Diện tích tam giác ABC:

$S_{ABC}=\frac{1}{2}\left | \begin{bmatrix} \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} \end{bmatrix} \right |$

Thể tích khối hộp:

$V_{ABCD.A'B'C'D'}=\left | \begin{bmatrix} \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD} \end{bmatrix}.\overrightarrow{AA'} \right |$

Thể tích tứ diện:

$V_{ABCD}=\frac{1}{6}\left | \begin{bmatrix} \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} \end{bmatrix}.\overrightarrow{AD} \right |$

Ví dụ 2: Cho 4 điểm $A(3;4;1),\ B(1;3;3),\ C(3;3;1),\ D(4;5;2)$ . Chứng minh $A,B,C,D$ là 4 đỉnh của tứ diện. Tính thể tích và tìm khoảng cách từ đỉnh $D$ đến mặt phẳng $(ABC)$ .

Bài giải

Ta có: $\left\{\begin{matrix} \overrightarrow{AB}=(-2;-1;2)\\ \overrightarrow{AC}=(0;-1;0)\\ \overrightarrow{AD}=(1;1;1) \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow \begin{bmatrix} \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} \end{bmatrix}=(2;0;2)$

Khi đó $\begin{bmatrix} \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} \end{bmatrix}.\overrightarrow{AD}=2.1+0.1+2.1=4\neq0$

Vậy $A,B,C,D$ là 4 đỉnh của tứ diện

$V_{ABCD}=\frac{1}{6}\left | \begin{bmatrix} \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} \end{bmatrix}.\overrightarrow{AD} \right |=\frac{1}{6}.4=\frac{2}{3}$ (đvtt)

$S_{ABC}=\frac{1}{2}\left | \begin{bmatrix} \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} \end{bmatrix} \right |=\frac{1}{2}\sqrt{2^2+0^2+2^2}=\sqrt{2}$ (đvdt)