Vector pháp tuyến của mặt phẳng và phương trình mặt phẳng

  • Vector \vec{n}\neq 0 được gọi là vector pháp tuyến của mặt phẳng (\alpha) nếu nó nằm trên đường thẳng vuông góc với (\alpha).
  • Mặt phẳng (\alpha) qua M(x_0;y_0;z_0) có vector pháp tuyến là \vec{n}=(A;B;C) có phương trình là:

\LARGE A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0

  • Phương trình tổng quát của mặt phẳng (\alpha) có vector pháp tuyến là \vec{n}=(A;B;C) là: 

\LARGE Ax+By+Cz+D=0 với \LARGE A^2+B^2+C^2>0

Mở rộng: 

  • Nếu \vec{n} là vector pháp tuyến của mặt phẳng (\alpha) thì k.\vec{n} cũng là vector pháp tuyến của mặt phẳng (\alpha).
  • Một mặt phẳng hoàn toàn được xác định nếu biết một điểm và một vector pháp tuyến của nó.

 

Một số trường hợp đặc biệt

Cho mặt phẳng (\alpha): Ax+By+Cz+D=0. Ta có:

  • (\alpha) qua O \Leftrightarrow D=0
  • (\alpha) song song hay chứa trục Ox\Leftrightarrow A=0
  • (\alpha) song song hay trùng với (Oxy)\Leftrightarrow A=B=0

Phương trình đoạn chắn:

Nếu mặt phẳng (\alpha) cắt 3 trục tọa độ lần lượt tại 3 điểm A(a;0;0),\ B(0;b;0),\ C(0;0;c) thì phương trình mặt phẳng (\alpha) là:

\LARGE \frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1

 

Ví dụ 3: Viết phương trình mặt phẳng (\alpha) đi qua hình chiếu của điểm M(2;5;4) lên các trục tọa độ.

Bài giải

Gọi A,B,C lần lượt là hình chiếu của điểm M(2;5;4) lên các trục Ox,Oy,Oz.

Khi đó, \left\{\begin{matrix} A(2;0;0)\\ B(0;5;0)\\ C(0;0;4) \end{matrix}\right.

Phương trình mặt phẳng (\alpha) có dạng: (\alpha):\frac{x}{2}+\frac{y}{5}+\frac{z}{4}=1

 

Vị trí tương đối giữa hai mặt phẳng

Cho 2 mặt phẳng: \left\{\begin{matrix} (\alpha):Ax+By+Cz+D=0\\ (\beta):A'x+B'y+C'z+D'=0 \end{matrix}\right.

  1. (\alpha),(\beta) cắt nhau \Leftrightarrow A:B:C\neq A':B':C'
  2. (\alpha),(\beta) song song \Leftrightarrow \frac{A}{A'}=\frac{B}{B'}=\frac{C}{C'}\neq\frac{D}{D'}
  3. (\alpha),(\beta) trùng nhau \Leftrightarrow \frac{A}{A'}=\frac{B}{B'}=\frac{C}{C'}=\frac{D}{D'}

Quy ước: Khi mẫu bằng 0 thì tử tương ứng bằng 0

Ví dụ 4: Xét vị trí tương đối 2 mặt phẳng: \left\{\begin{matrix} (\alpha):2x+3y-5z+4=0\\ (\beta):x+2y-2z+3=0 \end{matrix}\right.

Bài giải

2:3:-5\neq 1:2:-2 nên hai mặt phẳng đã cho cắt nhau

 

Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng

Khoảng cách từ M đến mặt phẳng (\alpha): Ax+By+Cz+D=0 được tính theo công thức:

\LARGE d[M;(\alpha)]=\frac{\left | Ax_M+By_M+Cz_M+D \right |}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}

 

Góc giữa hai mặt phẳng

Cho 2 mặt phẳng (\alpha) có vector pháp tuyến \overrightarrow{n_\alpha}(\beta) có vector pháp tuyến \overrightarrow{n_\beta}

Gọi \varphi là góc giữa (\alpha)(\beta) (0^0\leq \varphi \leq 90^0)

\LARGE \cos{\varphi}=\frac{\left | \overrightarrow{n_\alpha}.\overrightarrow{n_\beta} \right |}{\left | \overrightarrow{n_\alpha} \right |.\left | \overrightarrow{n_\beta} \right |}

Ví dụ 5: Tính góc giữa 2 mặt phẳng: \left\{\begin{matrix} (\alpha):2x-y+2z-19=0\\ (\beta):x-y+6=0 \end{matrix}\right.

Bài giải

Ta có: \left\{\begin{matrix} \overrightarrow{n_\alpha}=(2;-1;2)&\Rightarrow \left | \overrightarrow{n_\alpha} \right |=3\\ \overrightarrow{n_\beta}=(1;-1;0)&\Rightarrow \left |\overrightarrow{n_\beta} \right |=\sqrt{2}\end{matrix}\right.

\cos{\varphi}=\frac{\left | \overrightarrow{n_\alpha}.\overrightarrow{n_\beta} \right |}{\left | \overrightarrow{n_\alpha} \right |.\left | \overrightarrow{n_\beta} \right |}=\frac{\left | 2.1+(-1).(-1)+2.0 \right |}{3.\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}

\Rightarrow \varphi=45^0

Vậy góc giữa (\alpha)(\beta)45^0

Người đóng góp
Không có bình luận
Viết một bình luận Cancel
Comments to: Bài 2: Phương trình mặt phẳng

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Attach images - Only PNG, JPG, JPEG and GIF are supported.