Dãy số có giới hạn 0

Định nghĩa

Ta nói dãy số (u_n) có giới hạn 0 nếu với mỗi số dương nhỏ tùy ý cho trước, mọi số hạng của dãy số, kể từ một số hạng nào đó trở đi, đều có giá trị tuyệt đổi nhỏ hơn số dương đó.

Khi đó ta viết: \displaystyle \lim_{n\rightarrow +\infty}{u_n}=0 hay lim u_{n}=0

Đọc là: Dãy số (u_n) có giới hạn là 0 khi n dần (tiến) đến dương vô cực.

Nhận xét:

Từ định nghĩa ta suy ra được rằng: lim{0}=0

Dãy số (u_n) có giới hạn 0 \Leftrightarrow dãy số \left ( \left | u_n \right | \right ) có giới hạn 0

Với hai dãy số (u_n)(v_n) nếu \left | u_n \right |\leq v_n, \forall n và lim{v_n}=0 thì lim{u_n}=0

 

Một số dãy số có giới hạn 0

\lim{\frac{1}{n^k}}=0, (k\in \mathbb{N}^*)

\lim\frac{1}{\sqrt{n}}=0

\lim\frac{1}{\sqrt[3]{n}}=0

Nếu \left | q \right |<1 thì lim{q^n}=0

 

Ví dụ 1: Tính giới hạn dãy số (u_n)=\frac{(-2)^n}{3^n+2}

Lời giải

Ta có: \left | u_{n} \right| =\frac{2^n}{3^n+2}\leq \frac{2^n}{3^n} (do 3^n+2>3^n,\forall n\in\mathbb{N^*})

\lim\left ( \frac{2}{3} \right )^{n}=0 (do \frac{2}{3}<1 )

Nên lim{u_n}=0

 

Dãy số có giới hạn hữu hạn

Định nghĩa

Ta nói dãy số (u_n) có giới hạn là số thực L nếu

lim{(u_n-L)} = 0.

Khi đó ta viết: lim{u_n} = L hay \lim_{n\rightarrow +\infty}{u_n} = L.

Dãy số có giới hạn là một số thực gọi là dãy số có giới hạn hữu hạn.

 

Ví dụ 2: Tính giới hạn \lim{\left (\left (\frac{2}{5}\right )^n +1\right)}

Bài giải

Đặt u_{n}=\left ( \frac{2}{5} \right )^{n}+1\Rightarrow u_{n}-1=\left ( \frac{2}{5} \right )^{n}

Ta có:\lim{(u_n-1)}=\lim\left (\frac{2}{5}\right )^n=0

\Rightarrow \lim{u_n}=1

Nhận xét:

     Theo định nghĩa trên, ta có: lim(u_n)=L \Leftrightarrow \left | u_n-L \right | nhỏ bao nhiêu cũng được với n đủ lớn

     Không phải mọi dãy số đều có giới hạn hữu hạn.

 

Các định lí

Định lí 1:

lim c=c

(c là hằng số)

Định lí 2: Giả sử \lim{u_n}=L. Khi đó:

\lim{\left| u_n \right |}=|L|\lim{\sqrt[3]{u_n}}=\sqrt[3]{L}

Nếu u_n \geq 0, \forall n thì L \geq 0\lim{\sqrt{u_n}}=\sqrt{L}

Định lí 3: Giả sử lim{u_n}=Ulim{v_n}=V và c là hằng số thì:

lim{(u_n+v_n)}=U+V

lim{(u_n-v_n)}=U-V

lim{(u_n.v_n)}=U.V

lim{c.u_n}=cU

lim{\frac{u_n}{v_n}}=\frac{U}{V} (V \neq 0)

 

Ví dụ 3: Tính giới hạn của dãy u_n=\frac{\sqrt{4n^2+n}-n}{n+3}

Bài giải

lim{u_n}=lim{\frac{\sqrt{4n^2+n}-n}{n+3}}=lim\frac{n\left (\sqrt{4+\frac{1}{n}}-1 \right )}{n\left (1+\frac{3}{n} \right )}=lim\frac{\sqrt{4+\frac{1}{n}}-1 }{1+\frac{3}{n}}=\frac{\sqrt{4+0}-1}{1+0}=1

Vậy lim{u_n}=1

 

Ví dụ 4: Tính giới hạn của dãy u_n=\frac{2.7^{n+1}-4^{n+2}+1}{7^n+3.5^{n+1}}

Bài giải

lim{u_n}=lim\frac{2.7^{n+1}-4^{n+2}+1}{7^n+3.5^{n+1}}=lim\frac{7^n\left [14-16.\left ( \frac{4}{7} \right )^n+\left ( \frac{1}{7} \right )^n \right ]}{7^n\left [1+15.\left ( \frac{5}{7} \right )^n \right ]}

=lim\frac{14-16.\left ( \frac{4}{7} \right )^n+\left ( \frac{1}{7} \right )^n }{1+15.\left ( \frac{5}{7} \right )^n }=\frac{14-16.0+0}{1+15.0}=14

 

Tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn

Định nghĩa

Cấp số nhân vô hạn (u_n) có công bội là q với |q|<1 được gọi là một cấp số nhân lùi vô hạn.

Định lí

Gọi S=u_1+u_2+...+u_n+... là tổng vô hạn của cấp số nhân (u_n), ta có

S=\frac{u_1}{1-q}

Chứng minh:

Ta có S_n=u_1.\frac{1-q^n}{1-q}

Đặt S=lim{S_n}, khi đó:

S=lim{S_n}=lim{u_1.\frac{1-q^n}{1-q}}=lim\frac{u_1(1-0)}{1-q}=\frac{u_1}{1-q} ; (do ; |q|<1)

 

Ví dụ 5: Biểu diễn số thập phân 0,121212... dưới dạng phân số

Bài giải

Đặt S=0,121212...khi đó

S=0,12+0,0012+...=\frac{12}{10^2}+\frac{12}{10^4}+...+\frac{12}{10^{2n}}+...=\frac{12}{100}.\frac{1}{1-\frac{1}{100}}=\frac{4}{33}

 

Dãy số có giới hạn vô cực

Dãy số có giới hạn là + ∞

     Dãy số (u_n) có giới hạn là +\infty khi và chỉ khi với mỗi số dương tùy ý cho trước, mọi số hạng của dãy số, kể từ một số hạng nào đó trở đi, đều lớn hơn số dương đó.

Khi đó, ta viết: \displaystyle \lim_{n\rightarrow +\infty}{u_n}=+\infty hoặc \lim{u_n}=+\infty hoặc u_n\rightarrow +\infty

Áp dụng định nghĩa, ta chứng minh được rằng:

lim{n}=+\infty

lim{n^\alpha}=+\infty ; (\alpha\in\mathbb{N^*})

lim{\sqrt{n}}=+\infty

lim{\sqrt[3]{n}}=+\infty

lim{q^n}=+\infty ; (q>1)

 

Dãy số có giới hạn là – ∞

     Dãy số (u_n) có giới hạn là -\infty khi và chỉ khi với mỗi số âm tùy ý cho trước, mọi số hạng của dãy số, kể từ một số hạng nào đó trở đi, đều nhỏ hơn số âm đó.

Khi đó, ta viết: \displaystyle \lim_{n\rightarrow +\infty}{u_n}=-\infty hoặc lim{u_n}=-\infty hoặc u_n\rightarrow -\infty

Dễ dàng thấy rằng lim{u_n}=-\infty \Leftrightarrow\lim{-u_n}=+\infty

Kết luận:

Các dãy số có giới hạn -\infty,+\infty được gọi chung là các dãy số có giới hạn vô cực hay dần đến vô cực.

 

Các kết quả thừa nhận

\lim{n^k}=+\infty với k nguyên dương

\lim{q^n}=+\infty với q > 1

Định lí

  • Nếu limu_n=alimv_n=\pm \infty thì lim\frac{u_n}{v_n}=0.
  • Nếu limu_n=a>0limv_n=0v_n>0\; \forall n thì lim\frac{u_n}{v_n}=+\infty.
  • Nếu limu_n=+\inftylimv_n=a>0 thì limu_n.v_n=+\infty.

Ví dụ. Tìm 

lim\frac{2n+5}{n.3^n}

Giải. 

Chia cả tử và mẫu cho n ta được:

lim\frac{2n+5}{n.3^n}=lim\frac{2+\frac{5}{n}}{3^n}

Do lim(2+\frac{5}{n})=2lim3^n=+\infty nên:

lim\frac{2n+5}{n.3^n}=lim\frac{2+\frac{5}{n}}{3^n}=0

Ví dụ. Tìm

lim(n^2-2n-1)

Giải

Ta có:

n^2-2n-1=n^2\left ( 1-\frac{2}{n}-\frac{1}{n^2} \right )

Do limn^2=+\inftylim\left ( 1-\frac{2}{n}-\frac{1}{n^2} \right )=1>0 nên:

\lim n^2\left ( 1-\frac{2}{n}-\frac{1}{n^2} \right )=+\infty

Người đóng góp
Không có bình luận
Viết một bình luận Cancel
Comments to: Bài 1: Giới hạn dãy số

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Attach images - Only PNG, JPG, JPEG and GIF are supported.