Bài 1: Giới hạn dãy số

Dãy số có giới hạn 0

Định nghĩa

Ta nói dãy số $(u_n)$ có giới hạn 0 nếu với mỗi số dương nhỏ tùy ý cho trước, mọi số hạng của dãy số, kể từ một số hạng nào đó trở đi, đều có giá trị tuyệt đổi nhỏ hơn số dương đó.

Khi đó ta viết: $\displaystyle \lim_{n\rightarrow +\infty}{u_n}=0$ hay $lim u_{n}=0$

Đọc là: Dãy số $(u_n)$ có giới hạn là 0 khi n dần (tiến) đến dương vô cực.

Nhận xét:

Từ định nghĩa ta suy ra được rằng: $lim{0}=0$

Dãy số $(u_n)$ có giới hạn 0 $\Leftrightarrow$ dãy số $\left ( \left | u_n \right | \right )$ có giới hạn 0

Với hai dãy số $(u_n)$ và $(v_n)$ nếu $\left | u_n \right |\leq v_n, \forall n$ và $lim{v_n}=0$ thì $lim{u_n}=0$

Một số dãy số có giới hạn 0

$\lim{\frac{1}{n^k}}=0, (k\in \mathbb{N}^*)$

$\lim\frac{1}{\sqrt{n}}=0$

$\lim\frac{1}{\sqrt[3]{n}}=0$

Nếu $\left | q \right |<1$ thì $lim{q^n}=0$

Ví dụ 1: Tính giới hạn dãy số $(u_n)=\frac{(-2)^n}{3^n+2}$

Lời giải

Ta có: $\left | u_{n} \right| =\frac{2^n}{3^n+2}\leq \frac{2^n}{3^n}$ (do $3^n+2>3^n,\forall n\in\mathbb{N^*}$ )

Mà $\lim\left ( \frac{2}{3} \right )^{n}=0$ (do $\frac{2}{3}<1$ )

Nên $lim{u_n}=0$

Dãy số có giới hạn hữu hạn

Định nghĩa

Ta nói dãy số $(u_n)$ có giới hạn là số thực L nếu

$lim{(u_n-L)} = 0$ .

Khi đó ta viết: $lim{u_n} = L$ hay $\lim_{n\rightarrow +\infty}{u_n} = L$ .

Dãy số có giới hạn là một số thực gọi là dãy số có giới hạn hữu hạn.

Ví dụ 2: Tính giới hạn $\lim{\left (\left (\frac{2}{5}\right )^n +1\right)}$

Bài giải

Đặt $u_{n}=\left ( \frac{2}{5} \right )^{n}+1\Rightarrow u_{n}-1=\left ( \frac{2}{5} \right )^{n}$

Ta có: $\lim{(u_n-1)}=\lim\left (\frac{2}{5}\right )^n=0$

$\Rightarrow \lim{u_n}=1$

Nhận xét:

Theo định nghĩa trên, ta có: $lim(u_n)=L \Leftrightarrow \left | u_n-L \right |$ nhỏ bao nhiêu cũng được với n đủ lớn

Không phải mọi dãy số đều có giới hạn hữu hạn.

Các định lí

Định lí 1:

$lim c=c$

(c là hằng số)

Định lí 2: Giả sử $\lim{u_n}=L$ . Khi đó:

$\lim{\left| u_n \right |}=|L|$ và $\lim{\sqrt[3]{u_n}}=\sqrt[3]{L}$

Nếu $u_n \geq 0$ , $\forall n$ thì $L \geq 0$ và $\lim{\sqrt{u_n}}=\sqrt{L}$

Định lí 3: Giả sử $lim{u_n}=U$ và $lim{v_n}=V$ và c là hằng số thì:

$lim{(u_n+v_n)}=U+V$

$lim{(u_n-v_n)}=U-V$

$lim{(u_n.v_n)}=U.V$

$lim{c.u_n}=cU$

$lim{\frac{u_n}{v_n}}=\frac{U}{V} (V \neq 0)$

Ví dụ 3: Tính giới hạn của dãy $u_n=\frac{\sqrt{4n^2+n}-n}{n+3}$

Bài giải

$lim{u_n}=lim{\frac{\sqrt{4n^2+n}-n}{n+3}}=lim\frac{n\left (\sqrt{4+\frac{1}{n}}-1 \right )}{n\left (1+\frac{3}{n} \right )}$ $=lim\frac{\sqrt{4+\frac{1}{n}}-1 }{1+\frac{3}{n}}=\frac{\sqrt{4+0}-1}{1+0}=1$

Vậy $lim{u_n}=1$

Ví dụ 4: Tính giới hạn của dãy $u_n=\frac{2.7^{n+1}-4^{n+2}+1}{7^n+3.5^{n+1}}$

Bài giải

$lim{u_n}=lim\frac{2.7^{n+1}-4^{n+2}+1}{7^n+3.5^{n+1}}=lim\frac{7^n\left [14-16.\left ( \frac{4}{7} \right )^n+\left ( \frac{1}{7} \right )^n \right ]}{7^n\left [1+15.\left ( \frac{5}{7} \right )^n \right ]}$

$=lim\frac{14-16.\left ( \frac{4}{7} \right )^n+\left ( \frac{1}{7} \right )^n }{1+15.\left ( \frac{5}{7} \right )^n }=\frac{14-16.0+0}{1+15.0}=14$

Tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn

Định nghĩa

Cấp số nhân vô hạn $(u_n)$ có công bội là q với |q|<1 được gọi là một cấp số nhân lùi vô hạn.

Định lí

Gọi $S=u_1+u_2+...+u_n+...$ là tổng vô hạn của cấp số nhân $(u_n)$ , ta có

$S=\frac{u_1}{1-q}$

Chứng minh:

Ta có $S_n=u_1.\frac{1-q^n}{1-q}$

Đặt $S=lim{S_n}$ , khi đó:

$S=lim{S_n}=lim{u_1.\frac{1-q^n}{1-q}}=lim\frac{u_1(1-0)}{1-q}=\frac{u_1}{1-q} ; (do ; |q|<1)$

Ví dụ 5: Biểu diễn số thập phân $0,121212...$ dưới dạng phân số

Bài giải

Đặt $S=0,121212...$ khi đó

$S=0,12+0,0012+...=\frac{12}{10^2}+\frac{12}{10^4}+...+\frac{12}{10^{2n}}+...=\frac{12}{100}.\frac{1}{1-\frac{1}{100}}=\frac{4}{33}$

Dãy số có giới hạn vô cực

Dãy số có giới hạn là + ∞

Dãy số $(u_n)$ có giới hạn là $+\infty$ khi và chỉ khi với mỗi số dương tùy ý cho trước, mọi số hạng của dãy số, kể từ một số hạng nào đó trở đi, đều lớn hơn số dương đó.

Khi đó, ta viết: $\displaystyle \lim_{n\rightarrow +\infty}{u_n}=+\infty$ hoặc $\lim{u_n}=+\infty$ hoặc $u_n\rightarrow +\infty$

Áp dụng định nghĩa, ta chứng minh được rằng:

$lim{n}=+\infty$

$lim{n^\alpha}=+\infty ; (\alpha\in\mathbb{N^*})$

$lim{\sqrt{n}}=+\infty$

$lim{\sqrt[3]{n}}=+\infty$

$lim{q^n}=+\infty ; (q>1)$

Dãy số có giới hạn là – ∞

Dãy số $(u_n)$ có giới hạn là $-\infty$ khi và chỉ khi với mỗi số âm tùy ý cho trước, mọi số hạng của dãy số, kể từ một số hạng nào đó trở đi, đều nhỏ hơn số âm đó.

Khi đó, ta viết: $\displaystyle \lim_{n\rightarrow +\infty}{u_n}=-\infty$ hoặc $lim{u_n}=-\infty$ hoặc $u_n\rightarrow -\infty$

Dễ dàng thấy rằng $lim{u_n}=-\infty \Leftrightarrow\lim{-u_n}=+\infty$

Kết luận:

Các dãy số có giới hạn $-\infty,+\infty$ được gọi chung là các dãy số có giới hạn vô cực hay dần đến vô cực.

Các kết quả thừa nhận

$\lim{n^k}=+\infty$ với k nguyên dương

$\lim{q^n}=+\infty$ với q > 1

Định lí

Nếu $limu_n=a$ và $limv_n=\pm \infty$ thì $lim\frac{u_n}{v_n}=0$ .
Nếu $limu_n=a>0$ và $limv_n=0$ và $v_n>0\; \forall n$ thì $lim\frac{u_n}{v_n}=+\infty$ .
Nếu $limu_n=+\infty$ và $limv_n=a>0$ thì $limu_n.v_n=+\infty$ .