Bài trước ta đã được học về giới hạn của dãy số.
Nhắc lại về định nghĩa của giới hạn dãy số: Nếu một dãy số $u_{n}$ có giới hạn là $L$ , thì với mọi $\varepsilon$ nhỏ và dương tùy ý, $\exists N$ sao cho $\forall n>N$ thì $\left | u_n-L \right |<\varepsilon .$ Có thể hiểu một cách đơn giản như sau: Đề yêu cầu ta tìm giá trị của dãy số khi x tiến tới một giá trị nào đó.
Từ định nghĩa giới hạn dãy số, người ta đã phát triển lên một khái niệm mới: Giới hạn của hàm số.

Lý thuyết

Giới hạn vô tận

Cho $y=f(x),$ xét trong lân cận a. $f(x)$ được gọi là có giới hạn vô tận nếu như với mọi dãy $(x_n)$ mà $x_n\rightarrow a$ thì $f(x)\rightarrow +\infty.$

Kí hiệu: $\lim_{x\rightarrow a}f(x)=+\infty.$

Ví dụ 1. Chứng minh rằng: $\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1}{x^2}=+\infty.$

Xét dãy $(x_n)$ mà: $\lim_{n\rightarrow +\infty}x_n=0.$

Từ đây ta có: $f(x_n)=\frac{1}{x_n^2}.$

Ta có: $\lim_{n\rightarrow +\infty}f(x_n)=\lim_{n\rightarrow +\infty}\frac{1}{x_n^2}=+\infty.$

Nhận xét:

Vậy ta cũng có định nghĩa sau:

$\forall M>0,\exists \delta$ sao cho với $\left | x-a \right |<\delta$ thì $f(x)>M.$

Kí hiệu: $\lim_{x\rightarrow a}f(x)=-\infty.$

Giới hạn của hàm số tại một điểm

Định nghĩa

Định nghĩa 1

Cho $y=f(x)$ , xác định trong lân cận $\omega$ (có thể trừ lân cận). Hàm $f(x)$ có giới hạn L khi $x\rightarrow \omega$ nếu như với mọi dãy $(x_{n})$ mà $(x_{n})\rightarrow a$ thì $f(x_{n})\rightarrow L$ .
Kí hiệu: $\lim_{x\rightarrow a}f(x_n)=L.$
Các bạn có thể thấy rằng định nghĩa giới hạn hàm số ở đây không khác nhiều so với định nghĩa giới hạn dãy số.
Để dễ hiểu hơn, các bạn hãy nghĩ như sau: Tìm giới hạn của một hàm số tại một điểm tức đề yêu cầu ta tìm khi x tiến tới rất gần điểm đó, thì giá trị của hàm số bằng bao nhiêu. Để hiểu rõ hơn, giờ ta bắt đầu với một vài ví dụ sau:

Ví dụ 1. Cho hàm $y=f(x)=2x.$ Tìm $\lim_{x\rightarrow 3}f(x).$

Lấy dãy bất kì $(x_{n})$ mà: $\lim_{n\rightarrow +\infty }(x_{n})=6.$

Suy ra $f(x_{n})=2(x_n).$

Xét $\lim_{n\rightarrow +\infty}f(x_n)=\lim_{n\rightarrow +\infty}2x_n=2\lim_{n\rightarrow +\infty}x_n=2.3=6.$

Chú ý:

Hàm $f(x)$ không có giới hạn tại A nếu tồn tại 2 dãy $(x_n), (y_n)$ với $\lim_{n\rightarrow +\infty}(x_n)=\lim_{n\rightarrow +\infty}(y_n)=a$ mà $\lim_{n\rightarrow +\infty}f(x_n)\neq \lim_{n\rightarrow +\infty}f(y_n).$

Ví dụ 2. Chứng minh rằng $f(x)=sin\frac{1}{x}$ không có giới hạn khi x tiến dần về 0.

Chọn $x_n=\frac{1}{n\pi },\Rightarrow f(x_n)=sin\frac{1}{x_n}=sinn\pi =0.$

Chọn $y_n=\frac{1}{\frac{\pi}{2}+2n\pi }\Rightarrow f(y_n)=sin\frac{1}{y_n}=sin(\frac{\pi}{2}+n2r)=1.$

Mà: $\lim_{n\rightarrow +\infty}f(x_n)=0,\lim_{n\rightarrow +\infty}f(y_n)=0.$

Nên $f(x)$ không có giới hạn.

Định nghĩa 2

Cho $y=f(x),$ lân cận a (có thể trừ a), $f(x)$ được gọi là có giới hạn $L$ khi $x\rightarrow a$ nếu như $\forall \varepsilon >0,$ bé tùy ý, $\exists \delta$ sao cho nếu $\left | x_n-a \right |<\delta$ thì $\left | f(x_n)-L \right |<\varepsilon$ .

Ví dụ 1. Chứng minh rằng: $\lim_{x\rightarrow -1}(x^2+x-2)=-2.$

Vì khi x tiến đến $-1$ nên khi x đủ gần đến -1 thì $-2<x<0.$
Khi đó $\left | x \right |<2.$
Vậy: $\left | f(x)+2 \right |=\left | x \right |\left | x+1 \right |<2\left | x+1 \right |<\varepsilon .$ (chọn $\delta =\varepsilon /2$ ).

Tính chất

Tính duy nhất của giới hạn của hàm số:
Nếu f(x) có giới hạn khi x tiến dần về a thì giới hạn đó là duy nhất.

2. Giả sử f(x), g(x) có giới hạn khi x tiến dần về a. Khi đó:

1. $\lim_{x\rightarrow a}[f(x)\pm g(x)]=\lim_{x\rightarrow a}f(x)\pm \lim_{x\rightarrow a}g(x).$
2. $\lim_{x\rightarrow a}[f(x).g(x)]=\lim_{x\rightarrow a}f(x).\lim_{x\rightarrow a}g(x).$
3. $\lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\lim_{x\rightarrow a}f(x)}{\lim_{x\rightarrow a}g(x)}.$

3. Giả sử $\lim_{x\rightarrow x_0}f(x)=L.$

1. Nếu L > 0 thì với x đủ gần ta có f(x) > 0.
2. Nếu L < 0 thì với x đủ gần ta có f(x) < 0.

4. Giả sử $h(x)\leq f(x)\leq g(x),\lim_{x\rightarrow a}h(x)=\lim_{x\rightarrow a}g(x)=L,$ với mọi x thuộc lân cận. Suy ra $\lim_{x\rightarrow a}f(x)=L.$

Giới hạn ở vô tận

Định nghĩa

Hàm số f(x) có giới hạn tại L khi x tiến ra vô cùng nếu như với mọi dãy $(x_n)$ mà dãy số này tiến ra vô cùng thì $f(x_n)\rightarrow L.$
Kí hiệu: $\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=L.$

Ví dụ 1. Tìm giới hạn của hàm số: $f(x)=\frac{2x^2+x+1}{x^2+x+1}.$ khi x tiến tới $+\infty$ .

Cũng như mọi khi, để tìm giới hạn hàm số thì ta cần phải biến đổi f(x) để đưa về những dạng quen thuộc.

Ta có: $f(x)=\frac{2x^2+x+1}{x^2+x+1}=\frac{2+1/x+1/x^2}{1+1/x+1/x^2}.$
Vậy giới hạn của hàm số trên chính là $\frac{1}{2}.$ (do $\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{1}{x^n}=0.$ )

Ví dụ 2. Tìm giới hạn của hàm số: $f(x)=\frac{3x+1}{2x^2-x-3}.$ khi x tiến tới $+\infty$ .

Ta lại phải đưa về những dạng đơn giản hơn.

Ta có: $f(x)=\frac{3x+1}{2x^2-x-3}=\frac{3/x+1/x^2}{2-1/x-3/x^2}.$
Vậy giới hạn của hàm số trên chính là 0.

Ví dụ 3. Tìm giới hạn của hàm số: $f(x)=\frac{2x^3+x+1}{x^2-x+1}.$ khi x tiến tới $-\infty$ .

Ta lại làm giống những ví dụ trên.

Ta có: $f(x)=\frac{2x^3+x+1}{x^2-x+1}=\frac{2x+1/x^2+1/x^3}{1-1/x+1/x^2}.$
Vậy dễ suy ra được giới hạn của hàm số trên chính là $-\infty.$

Giới hạn của một số hàm số lượng giác:

Dựa vào định nghĩa trên, ta suy ra được giới hạn của một số hàm số lượng giác sau:
$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{sinx}{x}=1,\lim_{x\rightarrow 0}\frac{tanx}{x}=1.$
Từ đây ta suy ra được giới hạn của hàm số lượng giác tổng quát hơn: $\lim_{u(x)\rightarrow 0}\frac{sinu(x)}{u(x)}=1,\lim_{u(x)\rightarrow 0}\frac{tanu(x)}{u(x)}=1.$
Ví dụ:
$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{sinx}{x}=1.$

Nhìn vào đây thì các bạn sẽ đoán được đây chính là đường tròn lượng giác.

Xét $x\in (0;\frac{\pi }{2}).$

Suy ra: $S_(OAK)<S_(quạtOAK)<S_(OAT).$

(qut là quạt).

$\Rightarrow \frac{1}{2}sinx<\frac{1}{2}x<\frac{1}{2}tanx.$

$\Rightarrow sinx<x<tanx.$

$\Rightarrow cosx<\frac{sinx}{x}<1.$

Tương tự với: $x\in (\frac{-\pi }{2};0),x\in (\frac{-\pi }{2},\frac{\pi}{2}).$

Vậy $cosx<\frac{sinx}{x}<1.$

Cho x tiến dần về 0 thì $cosx$ tiến dần về 1, x tiến dần về 1.

Suy ra: $\lim_{x\rightarrow 0}\frac{sinx}{x}=1.$

Vậy ta có điều phải chứng minh.

Ví dụ 1. Tìm giới hạn của $\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-cos2x}{x}$

Đối với những dạng bài thế này, ta cần biến đổi về những giới hạn lượng giác cơ bản đã được giới thiệu ở trên.

Ta có: $\frac{1-cos2x}{x}=\frac{sin^2x+cos^2x-cos^2x+sin^2x}{x}=\frac{2sin^2x}{x}=2.\frac{sin^2x}{x^2}.x$
Vậy: $\lim_{x\rightarrow 0}2.\frac{sin^2x}{x^2}.x=\lim_{x\rightarrow 0}2x=0.$

Ví dụ 2. Tìm giới hạn của $\lim_{x\rightarrow 0}\frac{sin3x}{2x}.$

Tương tự như bài trên, ta lại phải biến đổi về những giới hạn lượng giác cơ bản.

Ta có: $\frac{sin3x}{2x}=\frac{sin3x}{3x}.\frac{3}{2}$

Vậy giới hạn của hàm số này là $\frac{3}{2}.$

Tổng kết

Vậy ta có một số lưu ý sau khi giải quyết các bài tập liên quan đến giới hạn:

Đưa hàm số cần tìm giới hạn về dạng quen thuộc và cơ bản.
Cần nhớ rõ các tính chất của giới hạn để vận dụng chính xác.
Tránh dạng vô định (0/0,…).
Làm nhiều bài tập để hình thành kĩ năng.

Bài tập

Dạng 1. Tìm giới hạn hàm số bằng định nghĩa

Bài 1. Tìm giới hạn của các hàm số sau bằng định nghĩa:

$\lim_{x\rightarrow 0}(3x^2-x+2)$
$\lim_{x\rightarrow -1}\frac{x^3+1}{x+1}.$
$\lim_{x\rightarrow 1}\frac{\sqrt{2x+2}-2}{x-1}.$
$\lim_{x\rightarrow -\infty}\frac{3x+2}{3-2x}.$

Bài 2. Chứng minh rằng các hàm số sau không có giới hạn:

$f(x)=cos\frac{1}{x^2},x\rightarrow 0.$
$f(x)=sinx,x\rightarrow +\infty.$
$f(x)=cos\frac{1}{x},x\rightarrow 0.$
$f(x)=sin(2x+1),x\rightarrow +\infty.$

Dạng 2. Tìm giới hạn bằng các định lí và các giới hạn cơ bản

Bài 1. Tìm các giới hạn sau:

$A=\lim_{x\rightarrow 1}\frac{3x^2+2x+1}{2x+1}.$
$B=\lim_{x\rightarrow \frac{\pi }{6}}\frac{2tan^22x+x}{sin3x+2}.$
$C=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sqrt[3]{x+2}+\sqrt{x+1}}{\sqrt{3x+2}+1}.$
$D=\lim_{x\rightarrow 1}\frac{\sqrt[3]{7x+1}+x^2}{x-2\sqrt{x+3}}.$

Bài 2. Tìm các giới hạn sau:

$A=\lim_{x\rightarrow 3}\frac{x^3-3x^2}{x^2-4x+3}.$
$B=\lim_{x\rightarrow -2}\frac{x^4-5x^2+4}{x^3+8}.$
$C=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{(4+3x)^3-4(2-3x)^4}{x}.$
$D=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{(1+2x)(2+3x)(3+4x)-6}{x}.$

Bài 3. Tìm các giới hạn sau:

$A=\lim_{x\rightarrow 1}\frac{x^n-1}{x-1}.$
$B=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sqrt[n]{1+ax}-1}{x}.$
$C=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sqrt[2]{1+ax}\sqrt[3]{1+bx}\sqrt[4]{1+cx}-1}{x},abc\neq 0.$
$D=\lim_{x\rightarrow 1}\frac{x^n-nx+n-1}{(x-1)^2}.$