Ôn tập bất đẳng thức

Khái niệm bất đẳng thức

Các mệnh đề dạng ”a < b” hoặc “a ≤ b” gọi là bất đẳng thức.

Bất đẳng thức hệ quả và bất đẳng thức tương đương

Bất đẳng thức hệ quả: 

     Nếu mệnh đề “a < b ⇒ c < d” đúng thì ta nói bất đẳng thức c < d là bất đẳng thức hệ quả của bất đẳng thức a < b và cũng viết là a < b ⇒ c < d.

Bất đẳng thức tương đương:

    Nếu bất đẳng thức a < b là hệ quả của bất đẳng thức c < d và ngược lại thì ta nói hai bất đẳng thức tương đương với nhau và viết là a < b  ⇔ c < d.

Tính chất bất đẳng thức

Khi  \left\{\begin{matrix} a<b\\ c<d \end{matrix}\right. thì ta có:

Tính chất Tên gọi
Điều kiện Nội dung
  a<b\Leftrightarrow a+c<b+c Cộng hai vế của bất đẳng thức với một số
c > 0  a<b\Leftrightarrow ac<bc Nhân hai vế của bất đẳng thức với một số
c < 0 a<b\Leftrightarrow ac>bc
  a<b và  Cộng hai bất đẳng thức cùng chiều
a > 0, c > 0 a<ba<d\Leftrightarrow ac<bd Nhân hai bất đẳng thức cùng chiều
n nguyên dương a<b\Leftrightarrow a^{2n+1}<b^{2n+1} Nâng hai vế của bất đẳng thức lên một luỹ thừa
0<a<b\Rightarrow a^{2n}<b^{2n}
a > 0 a<b\Leftrightarrow \sqrt{a}<\sqrt{b} Khai căn hai vế của một bất đẳng thức
  a<b\Leftrightarrow \sqrt[3]{a}<\sqrt[3]{b}

 

 

 

*Lưu ý:

Các tính chất trên vẫn đúng cho dấu bất đẳng thức.

VÍ DỤ: Cho a,b,c lần lượt là 3 cạnh của tam giác. CMR:

a) (b-c)^2<a^2

Do a,b,c là 3 cạnh của Δ nên:

\left\{\begin{matrix} a+c>b\\ a+b>c \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a+c-b>0\\ a+b-c>0 \end{matrix}\right.

\Rightarrow (a+c-b)(a+b-c)>0

\Rightarrow \left [ a+(c-b) \right ]\left [ a+(b-c) \right ]>0

\Rightarrow a^2-\left ( b-c \right )^2>0

\Rightarrow (b-c)^2<a^2

⇒ Điều phải chứng minh

b) a^2+b^2+c^2<2(ab+bc+ca)

Theo chứng minh câu a ta có đẳng thức:

(b-c)^2<a^2

Tương tự ta có:

(a-c)^2<b^2

(a-b)^2<c^2

\Rightarrow (b-c)^2+(a-c)^2+(a-b)^2<a^2+b^2+c^2\Leftrightarrow b^2-2bc+c^2+a^2-2ac+c^2+a^2-2ab+b^2<a^2+b^2+c^2

\Leftrightarrow 2a^2+2b^2+2c^2-2\left ( bc+ca+ab \right )<a^2+b^2+c^2

\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2<2(ab+bc+ca) (Điều phải chứng minh)

Bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân (bất đẳng thức Cô-Si)

Bất đẳng thức Cô-Si

      Trung bình nhân của 2 số không âm nhỏ hơn hoặc bằng trung bình cộng của chúng \sqrt{ab}\leq \frac{a+b}{2} với mọi a, b dương, dấu “=” của đẳng thức xảy ra khi a=b.

 

Các hệ quả

  • Hệ quả 1:

     Tổng của một số dương với nghịch đảo của nó lớn hơn hoặc bằng 2 với mọi a\geq 0:

a+\frac{1}{a}\geq 2

  • Hệ quả 2:

     Nếu x, y cùng dương và có tổng không đổi thì tích xy lớn nhất khi và chỉ khi x=y

VÍ DỤ: Cho a,b,c >0. CMR:

a) \left ( \frac{a+b}{c} \right )\left ( \frac{b+c}{a} \right )\left ( \frac{c+a}{b} \right )\geq 8

Áp dụng bđt Cô – si ta có:

\frac{a+b}{c}=\frac{a}{c}+\frac{b}{c}\geq 2\sqrt{\frac{a}{c}.\frac{b}{c}}

\frac{a+c}{b}=\frac{a}{b}+\frac{c}{b}\geq 2\sqrt{\frac{a}{b}.\frac{c}{b}}

\frac{b+c}{a}=\frac{b}{a}+\frac{c}{a}\geq 2\sqrt{\frac{b}{a}.\frac{c}{a}}

Nhân vế theo vế ta được:

\left ( \frac{a+b}{c} \right )\left ( \frac{b+c}{a} \right )\left ( \frac{c+a}{b} \right )\geq 8\sqrt{\frac{ab}{c^2}.\frac{bc}{a^2}.\frac{ac}{b^2}}=8

⇒ Điều phải chứng minh.

b) \left ( a+b+c \right )\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right )\geq 9

Ta có:

a+b+c\geq 3\sqrt[3]{abc}

\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq 3\sqrt[3]{\frac{1}{a}.\frac{1}{b}.\frac{1}{c}}

Nhân vế theo vế ta được:

\left ( a+b+c \right )\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right )\geq 9\sqrt[3]{abc.\frac{1}{abc}}=9

⇒ Điều phải chứng minh

Bất đẳng thức chứa dấu trị tuyệt đối

Điều kiện Nội dung
  \left | x \right |\geq 0,\left | x \right |\geq x,\left | x \right |\geq -x
a>0 \left | x \right |\leq a\Leftrightarrow -a\leq x\leq a
\left | x \right |\geq a\Leftrightarrow x\leq -a hoặc x\geq a
  \left | a \right |-\left | b \right |\leq \left | a+b \right |\leq \left | a \right |+\left | b \right |

 

Ví dụ. Cho x\in \left [ -2;0 \right ]. Chứng minh rằng:

\left | x+1 \right |\leq 1

Giải.

x\in \left [ -2;0 \right ] \Rightarrow -2\leq x\leq 0

\Rightarrow -2+1\leq x+1\leq 0+1

\Rightarrow -1\leq x+1\leq 1

\Rightarrow \left | x+1 \right |\leq 1

 

Người đóng góp
Không có bình luận
Viết một bình luận Cancel
Comments to: Bài 1: Bất đẳng thức

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Attach images - Only PNG, JPG, JPEG and GIF are supported.