Bài 1: Bất đẳng thức

Ôn tập bất đẳng thức

Khái niệm bất đẳng thức

Các mệnh đề dạng ”a < b” hoặc “a ≤ b” gọi là bất đẳng thức.

Bất đẳng thức hệ quả và bất đẳng thức tương đương

Bất đẳng thức hệ quả: 

     Nếu mệnh đề “a < b ⇒ c < d” đúng thì ta nói bất đẳng thức c < d là bất đẳng thức hệ quả của bất đẳng thức a < b và cũng viết là a < b ⇒ c < d.

Bất đẳng thức tương đương:

    Nếu bất đẳng thức a < b là hệ quả của bất đẳng thức c < d và ngược lại thì ta nói hai bất đẳng thức tương đương với nhau và viết là a < b  ⇔ c < d.

Tính chất bất đẳng thức

Khi   thì ta có:

Tính chất		Tên gọi
Điều kiện	Nội dung
		Cộng hai vế của bất đẳng thức với một số
c > 0		Nhân hai vế của bất đẳng thức với một số
c < 0
	và	Cộng hai bất đẳng thức cùng chiều
a > 0, c > 0	và	Nhân hai bất đẳng thức cùng chiều
n nguyên dương		Nâng hai vế của bất đẳng thức lên một luỹ thừa
a > 0		Khai căn hai vế của một bất đẳng thức

 

 

 

*Lưu ý:

Các tính chất trên vẫn đúng cho dấu bất đẳng thức.

VÍ DỤ: Cho a,b,c lần lượt là 3 cạnh của tam giác. CMR:

a)

Do a,b,c là 3 cạnh của Δ nên:

⇒ Điều phải chứng minh

b)

Theo chứng minh câu a ta có đẳng thức:

$Tương\; tự\; ta\; có:$

(Điều phải chứng minh)

Bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân (bất đẳng thức Cô-Si)

Bất đẳng thức Cô-Si

      Trung bình nhân của 2 số không âm nhỏ hơn hoặc bằng trung bình cộng của chúng  với mọi a, b dương, dấu “=” của đẳng thức xảy ra khi a=b.

$$

 

Các hệ quả

• Hệ quả 1:

     Tổng của một số dương với nghịch đảo của nó lớn hơn hoặc bằng 2 với mọi :

• Hệ quả 2:

     Nếu x, y cùng dương và có tổng không đổi thì tích xy lớn nhất khi và chỉ khi x=y

VÍ DỤ: Cho a,b,c >0. CMR:

a)

Áp dụng bđt Cô – si ta có:

Nhân vế theo vế ta được:

⇒ Điều phải chứng minh.

b)

Ta có:

Nhân vế theo vế ta được:

⇒ Điều phải chứng minh

Bất đẳng thức chứa dấu trị tuyệt đối

Điều kiện	Nội dung
	hoặc

 

Ví dụ. Cho . Chứng minh rằng:

Giải.