Bài 3: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Định nghĩa

Đường thẳng $d$ được gọi là vuông góc với mặt phẳng $(\alpha)$ nếu $d$ vuông góc với mọi đường thẳng $a$ nằm trong mặt phẳng $(\alpha)$ .

Ký hiệu: $d\perp (\alpha)$

Điều kiện để đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Nếu một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau cùng thuộc một mặt phẳng thì nó vuông góc với mặt phẳng đó.

Chứng minh

Cho $a,\;b$ là hai đường thẳng cắt nhau cùng thuộc mặt phẳng $(\alpha)$ , có vectơ chỉ phương lần lượt là $\vec{m},\vec{n}$ . Gọi $c$ là một đường thẳng bất kỳ nằm trong mặt phẳng $(\alpha)$ có vectơ chỉ phương $\vec{p}$ .

Ta có: $\vec{p}=x\vec{m}+y\vec{n}$ $(x,y\in \mathbb{R})$

Gọi $\vec{u}$ là vectơ chỉ phương của đường thẳng $d$ .

Mặt khác: $d\perp a\;\Rightarrow \;\vec{u}.\vec{m}=0$ và $d\perp b\Rightarrow \vec{u}.\vec{n}=0$

$\Rightarrow \vec{u}.\vec{p}=\vec{u}(x\vec{m}+y\vec{n})=x.\vec{u}.\vec{m}+y.\vec{u}.\vec{n}=x.0+y.0=0$

$\Rightarrow d\perp c$ .

Đường thẳng $d$ vuông góc với đường thẳng $c$ bất kỳ trong $(\alpha)$ . Theo định nghĩa, ta có đpcm.

Hệ quả (*)

Trong không gian, nếu một đường thẳng vuông góc với hai trong ba cạnh của một tam giác thì nó cũng vuông góc với cạnh còn lại.

Ví dụ 1. Cho hai đường thẳng $a,b$ song song với nhau. Gọi $(\alpha)$ là một mặt phẳng trong không gian sao cho $a\perp (\alpha)$ . Chứng minh $b\perp (\alpha)$ .

Giải

Ta cần biện luận rằng đường thẳng $b$ luôn cắt $(\alpha)$ tại một điểm.

Thật vậy, nếu $b\parallel (\alpha)$ thì $a$ song song hoặc nằm trên mặt phẳng $(\alpha)$ (do $a\parallel b$ ) (trái với giả thiết).

Nên $b$ luôn cắt mặt phẳng $(\alpha)$ tại một điểm.

Gọi $\vec{m},\vec{n}$ lần lượt là vectơ chỉ phương của $a,b$ . Do $a\parallel b$ , không mất tính tổng quát, ta giả sử $\vec{m}=\vec{n}$ .

Trong mp $(\alpha)$ , vẽ đường thẳng $x$ bất kỳ có vectơ chỉ phương $\vec{p}$ .

Ta có: $a\perp x\Rightarrow \vec{m}.\vec{p}=0$ $\Rightarrow \vec{n}.\vec{p}=0\Rightarrow b\perp x$

Vì $b$ vuông góc với mọi đường thẳng nằm trên $(\alpha)$ , nên $b\perp (\alpha)$ (đpcm).

? Thử thách: Chứng minh hệ quả (*). (Gợi ý: gọi các vectơ chỉ phương của ba cạnh tam giác, sử dụng tích vô hướng của hai vectơ)

Tính chất

(1) Có duy nhất một mặt phẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một đường thẳng cho trước.

(2) Có duy nhất một đường thẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một mặt phẳng cho trước.

Mặt phẳng trung trực của một đoạn thẳng là mặt phẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng và vuông góc với đường thẳng chứa đoạn thẳng đó. Nói cách khác, tập hợp tất cả các điểm cách đều hai đầu mút của một đoạn thẳng là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng đó.

Liên hệ giữa quan hệ song song và quan hệ vuông góc của đường thẳng và mặt phẳng

Tính chất 1

(a) Cho hai đường thẳng song song. Bất kỳ mặt phẳng nào vuông góc với một trong hai đường thẳng thì cũng vuông góc với đường thẳng còn lại.

(b) Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì chúng song song với nhau.

Tính chất (1a) trên đã được chứng minh ở Ví dụ 1.

Tính chất 2

(a) Cho hai mặt phẳng song song. Bất kỳ đường thẳng nào vuông góc với một trong hai mặt phẳng thì cũng vuông góc với mặt phẳng còn lại.

(b) Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì chúng song song với nhau.

Nhận xét. Trong tính chất 1, nếu ta thay các cụm từ “đường thẳng” bằng cụm từ “mặt phẳng” và ngược lại thì ta sẽ được tính chất 2.

Tính chất 3

(a) Cho đường thẳng $\dpi{100} a$ và mặt phẳng $\dpi{100} (P)$ song song với nhau. Bất kỳ đường thẳng nào vuông góc với $\dpi{100} (P)$ thì cũng vuông góc với $\dpi{100} a$ .

(b) Nếu một đường thẳng và một mặt phẳng (không chứa đường thẳng đó) cùng vuông góc với một đường thẳng thì chúng song song với nhau.

Định lý ba đường vuông góc

Phép chiếu vuông góc

Phép chiếu song song lên mặt phẳng $\dpi{100} (P)$ theo phương $\dpi{100} l$ vuông góc với mặt phẳng $\dpi{100} (P)$ gọi là phép chiếu vuông góc lên mặt phẳng $\dpi{100} (P)$ .

Nói cách khác, phép chiếu vuông góc là một trường hợp đặc biệt của phép chiếu song song. Do đó, phép chiếu vuông góc có mọi tính chất của phép chiếu song song, và nó được gọi đơn giản là phép chiếu lên mặt phẳng.

Nếu $\dpi{100} H'$ là hình chiếu vuông góc của hình $\dpi{100} H$ trên $\dpi{100} (P)$ thì ta cũng nói $\dpi{100} H'$ là hình chiếu của $\dpi{100} H$ trên $\dpi{100} (P)$ .

Định lý ba đường vuông góc

Cho đường thẳng $\dpi{100} a$ không vuông góc với mặt phẳng $\dpi{100} (P)$ và đường thẳng $\dpi{100} b$ nằm trong $\dpi{100} (P)$ . Khi đó, điều kiện cần và đủ để có $\dpi{100} b$ vuông góc với $\dpi{100} a$ là $\dpi{100} b$ vuông góc với hình chiếu $\dpi{100} a'$ của $\dpi{100} a$ trên $\dpi{100} (P)$ .

Chứng minh

Nếu a nằm trong (P) thì kết quả hiển nhiên!

Nếu a không nằm trong (P) thì ta lấy hai điểm phân biệt A và B thuộc a. Gọi A’ và B’ lần lượt là hình chiếu của A và B lên (P), khi đó hình chiếu a’ của đường thẳng a trên (P) chính là đường thẳng đi qua hai điểm A’ và B’.

Vì $\dpi{100} b\subset (P)$ nên $\dpi{100} b\perp AA'$ .

Vậy nếu $\dpi{100} b\perp a$ thì $\dpi{100} b\perp \mathrm{mp}(a',a)$ , do đó $\dpi{100} b\perp a'$ .

Ngược lại, nếu $\dpi{100} b\perp a'$ thì $\dpi{100} b\perp \mathrm{mp}(a',a)$ , do đó $\dpi{100} b\perp a$ .

$\dpi{100} \Rightarrow$ đpcm.

Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

(1) Nếu đường thẳng $a$ vuông góc với mặt phẳng $(P)$ , thì góc giữa đường thẳng $a$ và mặt phẳng $(P)$ là $90^0$ .

(2) Nếu đường thẳng $a$ không vuông góc với mặt phẳng $(P)$ , thì góc giữa $a$ và hình chiếu $a'$ của nó trên $(P)$ là góc giữa đường thẳng $a$ và mặt phẳng $(P)$ .

Lưu ý: Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng không vượt quá $90^0$ .

Ví dụ 2. Cho tứ diện đều ABCD. Tính góc giữa đường thẳng AB và mp(BCD).

Giải

Gọi cạnh của tứ diện đều là $a$ . Gọi O là tâm đường tròn ngoài tiếp $\Delta BCD$ $\Rightarrow AH \perp (BCD)$ (vì AH là đường cao của tứ diện)

Ta có: $B=AB\, \cap \,(BCD)$ và $AH\perp(BCD)$ $\Rightarrow$ BH là hình chiếu của AB trên (BCD)

$\Rightarrow (AB;(BCD))=(AB;BH)=\widehat{ABH}$

Mặt khác: $BH=\frac{2}{3}a\sin60^0=\frac{2}{3}a.\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{3}a$ $\Rightarrow \cos{\widehat{ABH}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$

$\Rightarrow (AB;(BCD))=\arccos{\frac{\sqrt{3}}{3}}$

Phương pháp giải toán

Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Phương pháp 1

Chứng minh đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong mặt phẳng.

$\left.\begin{matrix} b,c\subset (\alpha)\\ b\, \cap \, c=O\\ a\perp b,\: a\perp c \end{matrix}\right\}\Rightarrow a\perp (\alpha)$

Phương pháp 2

Áp dụng tính chất 1 đã nêu:

$\left.\begin{matrix} a\parallel b\\ b\perp (\alpha)\\ \end{matrix}\right\}\Rightarrow a\perp(\alpha)$

Phương pháp 3

Áp dụng tính chất 2 đã nêu:

$\left.\begin{matrix} (\alpha)\parallel (\beta)\\a\perp (\beta)\\ \end{matrix}\right\}\Rightarrow a\perp (\alpha)$

Chứng minh hai đường thẳng vuông góc

Phương pháp 1

Chứng minh một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng chứa đường thẳng kia.

$\left.\begin{matrix} a\perp (\alpha)\\ b\subset (\alpha)\\ \end{matrix}\right\}\Rightarrow a\perp b$

Phương pháp 2

Áp dụng định lý ba đường vuông góc.

Phương pháp 3

Áp dụng các cách chứng minh đã được học ở bài 2.

Tìm góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Phương pháp 1

BƯỚC 1. Tìm $O=a\, \cap \, (\alpha)$ .

BƯỚC 2. Lấy $A\in a$ và dựng $AH\perp (\alpha)$ tại H.

Khi đó $(a;(\alpha))=(a;a')=\widehat{AOH}$ .

BƯỚC 3. Tính số đo góc $\widehat{AOH}$ .

Phương pháp 2

Hướng 1: Chọn một đường thẳng $d\parallel a$ mà góc giữa $d$ và $(\alpha)$ có thể tính được. Khi đó: $(a;(\alpha))=(d;(\alpha))$ .

Hướng 2: Chọn một mặt phẳng $(\beta)\parallel (\alpha)$ mà góc giữa $a$ và $(\beta)$ có thể tính được. Khi đó: $(a;(\alpha))=(a;(\beta))$ .

Một số bài tập

1. Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy là $\Delta ABC$ vuông tại B, $SA\perp (ABC)$ .

a) Chứng minh $BC\perp (SAB)$ .

b) Kẻ đường cao $AH$ trong $\Delta SAB$ . Chứng minh $AH\perp (SBC)$ .

c) Kẻ đường cao $AK$ trong $\Delta SAC$ . Chứng minh $SC\perp (AHK)$ .

d) Đường thẳng $HK$ cắt $BC$ tại $I$ . Chứng minh $IA\perp (SAC)$ .

2. Cho hình chóp ABCD. Gọi O là hình chiếu của A lên (BCD).

Chứng minh: $AB=AC=AD\Leftrightarrow OB=OC=OD$ .

3. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là vuông tại A, BC = 2CC’. Gọi I, K lần lượt là trung điểm của BC và AI’.

a) Chứng minh $B'C'\perp (A'AI)$ .

b) Chứng minh $AK\perp (A'BC)$ .

c) Gọi K là hình chiếu vuông góc của A lên A’C. Chứng minh B, H, K thẳng hàng.

4. Cho hình chóp tam giác S.ABC có SA = SB = SC và $\widehat{ASB}=\widehat{BSC}=\widehat{CSA}$ . Chứng minh rằng $SA\perp BC,\; SB\perp AC,\; SC\perp AB$ .

5. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thang cân, đáy lớn AD = 2a, AB = BC = CD = a. I là trung điểm của AD và là hình chiếu vuông góc của S lên (ABCD). $\Delta SAD$ đều. Biết K là trung điểm AB. Tính góc giữa:

a) SC và (ABCD).

b) KI và (SAB).

c) BD và (SAB).

d) SA và (MBD).

6. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh a. Tính góc giữa:

a) B’D và (AA’D’D).

b) BD và (B’AC).

Góc chia sẻ

Toán học luôn gắn liền với ứng dụng thực tiễn trong cuộc sống. Bạn nào mà nói Toán học chỉ có những kiến thức khô khan, hàn lâm thì bạn đó chưa thật sự hiểu rõ bản chất của môn học này. Video dưới đây sẽ cho chúng ta nhìn thấy một khía cạnh hết sức quan trọng và hữu ích mà môn Toán mang đến cho cuộc sống của con người!

Góc PR: Ted-Ed là một channel Youtube rất thú vị, có mục tiêu là truyền tải những kiến thức phong phú và đa dạng về khoa học, lịch sử, địa lý, triết học, tâm lý … , được trình bày vô cùng chỉnh chu và chuyên nghiệp dưới dạng các motion video. Nếu các bạn muốn tìm hiểu bất cứ điều gì, hãy tra cứu ở đây trước hết nhé!

Đ. D.

Phan Trần Minh Đạt Thành viên kể từ November 11, 2019

Độc thân vui tính! Ai muốn hốt thì nhớ hốt lẹ nha! Vã lắm rồi!

Người đóng góp

Bài 3: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Định nghĩa

Điều kiện để đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Tính chất

Liên hệ giữa quan hệ song song và quan hệ vuông góc của đường thẳng và mặt phẳng