Bài trước ta đã học về đường thẳng vuông góc với mặt phẳng. Để tìm hiểu sâu hơn chương này, ta lại tiếp tục bắt đầu với bài 4: hai mặt phẳng vuông góc thì thế nào?

A. Tóm tắt lí thuyết:

1. Góc giữa hai mặt phẳng:

$\left\{\begin{matrix} a \bot(P)\\ b\bot(Q) \end{matrix}\right.\Rightarrow \widehat{((P),(Q))}=\widehat{(a,b)}.$

Chú ý: Góc giữa (P) và (Q) là góc nhọn.

2. Diện tích hình chiếu của một đa giác:

Ta cần lưu ý công thức sau:

Gọi (S) là diện tích của đa giác (H) trong (P), S’ là diện tích của hình chiếu (H’) của (H) trên (Q), $\alpha =\widehat{((P),(Q))}.$

Khi đó:

$S'=S.cos\alpha .$

3. Hai mặt phẳng vuông góc:

Ta có định nghĩa và điều kiện sau của hai mặt phẳng vuông góc:

$(P)\bot(Q)\Rightarrow \widehat{((P),(Q))}=90^0.$

Điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc với nhau: $\left\{\begin{matrix} (P)\supset a\\a\bot(Q) \end{matrix}\right.\Rightarrow (P)\bot(Q).$

4. Tính chất của hai mặt phẳng vuông góc nhau:

Ta có các tính chất sau của hai mặt phẳng vuông góc nhau:

$\left\{\begin{matrix} (P)\bot(Q),(P)\cap (Q)=c\\a\subset (P),a\bot c \end{matrix}\right.\Rightarrow a\bot(Q).$
$\left\{\begin{matrix} (P)\bot(Q)\\A\in (P) \\a\ni A,a\bot(Q) \end{matrix}\right.\Rightarrow a\subset (P).$
$\left\{\begin{matrix} (P)\cap (Q)=a\\(P)\bot(R) \\(Q)\bot(R) \end{matrix}\right.\Rightarrow a\bot(R).$

B. Bài tập:

Bài 1. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình vuông và có một cạnh bên vuông góc với đáy. Xét bốn mặt phẳng chứa bốn mặt bên và mặt phẳng chứa mặt đáy. Có bao nhiêu cặp mặt phẳng vuông góc với nhau?

Bài 2. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì vuông góc nhau.
Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một mặt phẳng thì song song với nhau.
Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì cắt nhau.
Một mặt phẳng (P) và một đường thẳng a không thuộc (P) cùng vuông góc với đường thẳng b thì (P) // a.

Bài 3. Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) song song với nhau và một điểm M không thuộc (P) và (Q). Qua M có bao nhiêu mặt phẳng vuông góc với (P) và (Q).

Bài 4. Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình thoi tâm I cạnh bằng A và góc A bằng 60 độ, cạnh $SC=\frac{a\sqrt{6}}{2},$ SC vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Trong tam giác SAC kẻ IK vuông góc với SA tại K. Tính số đo góc BKD.

Bài 5. Cho tứ diện đều ABCD, góc giữa (ABC) và (ABD) là a. Tính cosa.

Bài 6. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi tâm O cạnh a và góc BAD bằng 60 độ. Đường thẳng SO vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD) và $SO=\frac{3a}{4}.$ Gọi E là trung điểm BC và F là trung điểm BE. Tính góc giữa hai mặt phẳng (SOF) và (SBC).

Bài 7. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, có đáy ABCD là hình vuông tâm O. Các cạnh bên và các cạnh đáy đều bằng a. Gọi M là trung điểm SC. Tính góc giữa hai mặt phẳng (MBD) và (ABCD).

Bài 8. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và có SA = SB = SC = a. Tính góc giữa hai mặt phẳng (SBD) và (ABCD).