Bài 2: Cực trị của hàm số

Khái niệm cực đại, cực tiểu

Cho hàm số y =f(x) xác định, liên tục trên (a;b), a b (có thể a là $-\infty$ , b là $\infty$ ) và điểm x_o $\in$ (a;b):
Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f(x)<f(x_o) $\forall x \in (x_{o}-h;x_{o}+h)$ và $x \neq x_{o}$ thi ta nói hàm số f(x) đạt cực đại tại điểm x_o.
Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f(x)>f(x_o) $\forall x \in (x_{o}-h;x_{o}+h)$ và $x \neq x_{o}$ thi ta nói hàm số f(x) đạt cực tiểu tại điểm x_o.

Nói nôm na, giá trị cực đại là giá trị lớn nhất so với xung quanh và giá trị cực tiểu là giá trị nhỏ nhất so với xung quanh mà hàm số có thể đạt được, và chúng được gọi chung là cực trị.

Lưu ý: Cực trị của hàm số f(x) không phải là giá trị lớn nhất hay nhỏ nhất của hàm số.

Minh họa cho cực trị của hàm số

Nếu hàm số f(x) đạt cực đại (cực tiểu) tại điểm x_othì x_ođược gọi là điểm cực đại (cực tiểu) của hàm sốf(x_o) được gọi là giá trị cực đại (cực tiểu) của hàm số, kí hiệu $f_{CD}$ ( $f_{CT}$ ) còn điểm M(x_o;f(x_o)) được gọi là điểm cực đại (cực tiểu) của đồ thị

Các định lí

1. Điều kiện cần

Nếu hàm số y=f(x) có đạo hàm trên khoảng (a;b) và đạt cực đại (hoặc cực tiểu) tại x_o
thì f(x₀) =0. Khi đó x_ođược gọi là điểm dừng của đồ thị

Điểm mà tại đó đạo hàm của hàm sốbằng 0, hoặc tại đó hàm số không có đạo hàm, được gọi là điểm cực trị của hàm số, chẳng hạn hàm số y=|x| đạt cực trị tại x_o=0

Lưu ý: Định lí trên không dùng để chứng minh hàm số tồn tại điểm cực trị. Ví dụ, xét hàm số f(x)=x³, khi này, đạo hàm f'(x)=2x² bằng 0 tại x_o = 0. Tuy nhiên, điểm này không phải điểm cực trị của hàm số

Đồ thị hàm số y=x³

2. Điều kiện đủ

Nếu f'(x) đổi dấu từ âm sang dương khi x đi qua điểm x₀(theo chiều tăng) thì hàm số

y=f(x) đạt cực tiểu tại điểm x_0. $\forall x \in (x_{0},x_{0}+h) \Rightarrow f'(x)>0$

Nếu f'(x) đổi dấu từ dương sang âm khi x đi qua điểm x₀(theo chiều giảm) thì hàm số y=f(x) đạt cực đại tại điểm x_0.

Nếu f'(x) không đổi dấu khi x đi qua x₀thì hàm số không đạt cực trị tại điểm x₀

Chứng minh:

Xét trường hợp f(x) đạt giá trị cực tiểu, tức đạo hàm f'(x) đổi dấu từ âm sang dương khi qua điểm x_o,theo định lí, ta có: $\forall x \in (x_{0}-h,x{0}) \Rightarrow f'(x)<0$ Áp dụng định lí Lagrange, ta có:

$f(x)-f(x_{0})=f'(c)(x-x_{0})$ , với $c \in (x_{0}-h; x_{0})$

Mà $\left\{\begin{matrix} f'(c)<0, (c \in (x_{0}-h;x_{0}))\\ x-x_{0}<0, \forall x \in (x_{0}-h;x_{0}) \end{matrix}\right.$

Nên f(x)>f(x_o) , $\forall x \in (x_{o}-h;x_{o})$

Chứng minh tương tự với , ta có f(x)>f(x_o) $\forall x \in (x_{o};x_{o}+h)$

Như vậy, x_o là điểm cực tiểu của hàm số f(x) (đpcm)

Ví dụ 1: Tìm điểm cực đại, cực tiểu (nếu có) của hàm số $y=-x^{4}+8x^{2}-1$

Bài giải

Tập xác định: $\mathfrak{D}=\mathbb{R}$

Có: $y'=-4x^{3}+16x=0$

$\Leftrightarrow \begin{bmatrix} x=-2\Rightarrow y=15\\ x=0\Rightarrow y=-1\\ x=2 \Rightarrow y=15 \end{matrix}$

Giới hạn: $\lim_{x\rightarrow -\infty}=-\infty$ ; $\lim_{x\rightarrow +\infty}=-\infty$

Vậy y_cđ=15 và y_ct=-1

Ví dụ 2: Cho hàm số $y=(1-m)x^{3}-3x^{2}+3x-5$ . Tìm m để hàm số có 2 điểm cực trị ?

Bài giải

Tập xác định: $\mathfrak{D}=\mathbb{R}$

$ycbt \Leftrightarrow y'=3(1-m)x^{2}-6x+3=0$ có 2 nghiệm phân biệt

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} m-1 \neq 0\\ \Delta'=m >0 \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow m \in (0;\infty)\setminus \{1\}$

3. Định lí đối với đạo hàm cấp hai

Giả sử f(x) có đạo hàm cấp 2 trong khoảng (x_o-h;x_o+h) với h > 0. Khi đó:

Nếu f'(x_o)=0 và f”(x_o)> 0 thì x_o là điểm cực tiểu
Nếu f'(x_o)=0 và f”(x_o)<0 thì x_o là điểm cực đại

Chứng minh:

Xét trường hợp f(x) đạt cực tiểu tại x_o, tức f”(x_o)>0.

Khi này, f'(x_o) đồng biến tại điểm x_ocho nên tồn tại một số h>0 sao cho $\forall x \in (x_{o}-h;x_{o})$ $\Rightarrow f'(x)<f'(x_{0})$ và $\forall x \in (x_{o};x_{o}+h)\Rightarrow f'(x)>f'(x_{o})$ . Mặt khác, f'(x_o)=0 nên

$\left\{\begin{matrix} f'(x)<0\ \forall x \in (x_{0}-h;x_{0})\\ f'(x)>0\ \forall x \in (x_{0};x_{0}+h) \end{matrix}\right.$ . Tức là f'(x) đổi dấu từ âm sang dương khi x đi qua điểm x₀nên theo định lí 1, f(x) đạt cực tiểu tại điểm x₀

Ví dụ 3: Cho hàm số $f(x)=\frac{1}{3}x^{3}-mx^{2}+(m^{2}-4)x+3$ . Tìm m để hàm số đạt cực đại tại x=3

Bài giải

Tập xác định: $\mathfrak{D}=\mathbb{R}$

Ta có: $\left\{\begin{matrix} f'(x)=x^{2}-2mx+m^{2}-4\\ f''(x)=2x-2m \end{matrix}\right.$

$ycbt \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} f'(3)=0\\ f''(3)<0 \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} m^{2}-6m+5=0\\ 6-2m<0 \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} m=1 \vee m=5\\ m>3 \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow m=5$

4. Định lí mở rộng đối với đạo hàm cấp n (n= 2k)

Cho hàm số f(x) có đạo hàm tại điểm x_otheo thứ tự đến cấp n. Nếu $f'(x_{0})=f''(x_{0})=...=f^{(n-1)}(x_{0})=0$ và $f^{(n)}\neq0$ (n=2k) thì hàm số f(x) đạt

Cực đại nếu $f^{(n)}(x)<0$
Cực tiểu nếu $f^{(n)}(x)>0$

Đọc thêm: Định lí Lagrange

Cho hàm $f$ liên tục và xác định trên [ $(a, b)$ thỏa mãn $f'(a)=f'(b)$ $f^{'} (a) = f^{'} (b)$ Tồn tại $c \in (a;b)$ sao cho $f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$