Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng, đến một mặt phẳng
Để nắm được khái niệm về khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng hoặc một mặt phẳng, chúng ta cần nhớ lại một chút về khái niệm Hình chiếu vuông góc:
Cho đường thẳng |
Ta có một định nghĩa sau:
Khoảng cách từ một điểm |
Ký hiệu: là khoảng cách giữa điểm
và mặt phẳng
.
là khoảng cách giữa điểm
và đường thẳng
.
Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song, giữa hai mặt phẳng song song
Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song
Khoảng cách giữa đường thẳng |
Ký hiệu: là khoảng cách giữa đường thẳng
và mặt phẳng
.
————————————-
Đọc đến đây, bạn có thắc mắc là tại sao định nghĩa khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng lại như vậy không? Chúng ta sẽ cùng tìm hiểu một chút qua bài toán nhẹ nhàng dưới đây nha!
————————————-
Ví dụ 1. Cho đường thẳng song song mặt phẳng
. Chứng minh khoảng cách giữa đường thẳng
và mặt phẳng
(theo định nghĩa trên) là ngắn nhất so với khoảng cách từ một điểm bất kỳ trên
đến một điểm bất kỳ trên
.
Giải
Trên lấy điểm
bất kỳ. Gọi
là hình chiếu của điểm
lên mặt phẳng
.
Xét một điểm nằm bất kỳ trên
và
.
Ta có: là hình chiếu của
trên
nên
.
vuông tại
.
(vì
là cạnh huyền của
)
Khi đó, ta có đpcm.
Khi độ dài đoạn thẳng nối hai điểm nằm trên hai đối tượng hình học là nhỏ nhất, độ dài đó được gọi là khoảng cách giữa hai đối tượng hình học. (thường là thế!)
Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song
Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểm bất kỳ của mặt phẳng này đến mặt phẳng kia. |
{Chứng minh tương tự như trên luôn!}
Ký hiệu: là khoảng cách giữa mặt phẳng
và mặt phẳng
.
Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
Đường vuông góc chung và khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
Đường thẳng |
Nếu đường vuông góc chung |
Gọi tên: Đoạn thẳng trong định nghĩa trên được gọi là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau
và
. Hay nói cách khác, khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau chính là độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng đó.
Cách tìm đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau
Ví dụ 2. Cho hai đường thẳng chéo nhau và
. Tìm đường thẳng
cắt cả
và
đồng thời vuông góc với cả
và
.
Giải
– Do và
chéo nhau nên có duy nhất mặt phẳng
chứa đường thẳng
và song song với đường thẳng
.
– Mặt phẳng đi qua
và vuông góc với
, cắt đường thẳng
tại
. Gọi
là đường thẳng đi qua
và vuông góc với
thì
nằm trong
, do đó
cắt
tại điểm
. Khi đó,
là đường thẳng phải tìm.
Đường thẳng c chính là đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau a và b.
Nhận xét:
- Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa một trong hai đường thẳng đó và mặt phẳng song song với nó, chứa đường thẳng còn lại.
- Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song lần lượt chứa hai đường thẳng đó.
Ví dụ 3. Cho tứ diện đều . Gọi
lần lượt là trung điểm của cạnh
và
. Chứng minh đường thẳng
là đường vuông góc chung của
và
.
Giải
– Ta có: (vì cả hai đều làm tam giác đều)
và
lần lượt là trung tuyến của
và
.
– cân tại M có:
là trung tuyến (N là trung điểm AD)
là đường cao
(đl)
Chứng minh tương tự, ta cũng có .
và BC, AD chéo nhau
MN là đường vuông góc chung của BC và AD (đpcm)
Một số bài tập
1. Cho tứ diện đều cạnh
. Tính khoảng cách giữa hai cạnh đối của tứ diện đó theo
.
(mở rộng của Ví dụ 3)
2. Cho hình lập phương có cạnh
. Tính khoảng cách từ đỉnh
đến đường chéo
.
3. Cho hình chóp có đáy
là hình vuông tâm O, cạnh là
.
vuông góc với mặt phẳng
và
.
a) Gọi E là trung điểm . Tính khoảng cách từ S đến BE.
b) Gọi K, M lần lượt là trung điểm và
. Tính khoảng cách từ K đến CM.
Góc chia sẻ
Can you solve this pirate riddle?
5 tên cướp biển (Allan, Bart, Christina, Dave và Eliza) có một kho báu gồm 100 đồng vàng. Trên con tàu của mình, chúng định chia số tiền vàng theo “luật cướp biển” như sau: Là thuyền trưởng, Allan được đưa ra một phương án chia vàng và tất cả các tên cướp biển (kể cả thuyền trưởng) sẽ biểu quyết phương án đó. Nếu 50% hoặc nhiều hơn đồng ý thì phương án được thông qua và họ sẽ chia tiền theo cách đó. Trường hợp ngược lại, Allan sẽ bị vứt xuống biển và chiếc ghế thuyền trưởng giao lại cho Bart. Quá trình trên sẽ được tiếp diễn với các cướp biển còn lại. Người cuối cùng là Eliza. Tất nhiên, mỗi tên cướp biển đều muốn sống và giành nhiều vàng nhất có thể. Nhưng vì là cướp biển, bọn chúng không tin tưởng lẫn nhau, nên ko có chuyện hợp tác ở đây! Hơn nữa, chúng luôn khát máu, và nếu chúng nghĩ kiểu gì thì cuối cùng chúng cũng chỉ có một lượng vàng như thế, chúng sẽ bỏ phiếu để thuyền trưởng nhảy cầu CHO VUI. Giả sử rằng cả 5 tên cướp biển đều xuất sắc trong việc suy luận, và chúng biết những tên khác cũng thế, vậy Allan cần đề xuất cách chia như thế nào để chắc chắn mình còn sống và nhận được nhiều vàng nhất có thể? Gợi ý: Vì Eliza là người cuối cùng, nên cô ta có nhiều sự lựa chọn nhất. Hãy bắt đầu suy luận ngược từ ả! |
Đáp án: https://www.youtube.com/watch?v=Mc6VA7Q1vXQ
HÃY CỐ GẮNG GIẢI CÂU ĐỐ TRÊN TRƯỚC KHI TÌM ĐẾN ĐÁP ÁN NGHEN!
Đ. D
No Comments
Leave a comment Cancel