Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng, đến một mặt phẳng

 

Để nắm được khái niệm về khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng hoặc một mặt phẳng, chúng ta cần nhớ lại một chút về khái niệm Hình chiếu vuông góc:

Cho đường thẳng d\perp (\alpha). Phép chiếu song song của hình (H) theo phương d lên (\alpha) được gọi là phép chiếu vuông góc lên (\alpha). Khi đó, hình chiếu (H') của (H) qua phép chiếu vuông góc được gọi là hình chiếu vuông góc của (H).

 

Ta có một định nghĩa sau:

Khoảng cách từ một điểm M đến mặt phẳng (P) (hoặc đến đường thẳng \Delta) là khoảng cách giữa hai điểm MH, trong đó Hhình chiếu vuông góc của M trên mặt phẳng (P) (hoặc trên đường thẳng \Delta).

 

Ký hiệu: d(M;(P)) khoảng cách giữa điểm M và mặt phẳng (P).

d(M;\Delta)khoảng cách giữa điểm M và đường thẳng \Delta.

 

Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song, giữa hai mặt phẳng song song

Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song

 

Khoảng cách giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P) song song với a là khoảng cách từ một điểm nào đó của a đến (P).

 

Ký hiệu: d(a;(P)) là khoảng cách giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P).

————————————-

Đọc đến đây, bạn có thắc mắc là tại sao định nghĩa khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng lại như vậy không? Chúng ta sẽ cùng tìm hiểu một chút qua bài toán nhẹ nhàng dưới đây nha!

————————————-

Ví dụ 1. Cho đường thẳng a song song mặt phẳng (P). Chứng minh khoảng cách giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P) (theo định nghĩa trên) là ngắn nhất so với khoảng cách từ một điểm bất kỳ trên a đến một điểm bất kỳ trên (P).

Giải

HÌNH 1. Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song

Trên a lấy điểm M bất kỳ. Gọi Hhình chiếu của điểm M lên mặt phẳng (P).

Xét một điểm H' nằm bất kỳ trên (P)H'\not\equiv H.

Ta có: H' là hình chiếu của M trên (P) nên MH\perp (P).

\Rightarrow MH\perp HH'

\Rightarrow \Delta MHH' vuông tại H.

\Rightarrow MH'>MH (vì MH'cạnh huyền của \Delta MHH')

Khi đó, ta có đpcm.

 

Khi độ dài đoạn thẳng nối hai điểm nằm trên hai đối tượng hình học là nhỏ nhất, độ dài đó được gọi là khoảng cách giữa hai đối tượng hình học. (thường là thế!)

 

Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song

 

Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểm bất kỳ của mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.

 

{Chứng minh tương tự như trên luôn!}

Ký hiệu: d((P);(Q)) là khoảng cách giữa mặt phẳng (P) và mặt phẳng (Q).

 

Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

Đường vuông góc chung và khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

 

Đường thẳng \Delta cắt hai đường thẳng chéo nhau a,\;b và cùng vuông góc với mỗi đường ấy được gọi là đường vuông góc chung của ab.

 

Nếu đường vuông góc chung \Delta cắt hai đường thẳng chéo nhau a, b lần lượt tại M, N thì độ dài đoạn thẳng MN được gọi là khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau ab.

 

Gọi tên: Đoạn thẳng MN trong định nghĩa trên được gọi là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau ab. Hay nói cách khác, khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau chính là độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng đó.

 

Cách tìm đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau

Ví dụ 2. Cho hai đường thẳng chéo nhau ab. Tìm đường thẳng c cắt cả ab đồng thời vuông góc với cả ab.

Giải

HÌNH 2. Cách dựng đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau

– Do ab chéo nhau nên có duy nhất mặt phẳng (Q) chứa đường thẳng b và song song với đường thẳng a.

– Mặt phẳng (P) đi qua a và vuông góc với (Q), cắt đường thẳng b tại J. Gọi c là đường thẳng đi qua J và vuông góc với (Q) thì c nằm trong (P), do đó c cắt a tại điểm I. Khi đó, c là đường thẳng phải tìm.

Đường thẳng c chính là đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau ab.

 

Nhận xét:

  • Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa một trong hai đường thẳng đó và mặt phẳng song song với nó, chứa đường thẳng còn lại.
  • Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song lần lượt chứa hai đường thẳng đó.

 

Ví dụ 3. Cho tứ diện đều ABCD. Gọi M,\:N lần lượt là trung điểm của cạnh BCAD. Chứng minh đường thẳng MNđường vuông góc chung của BCAD.

Giải

– Ta có: \Delta ABC=\Delta DBC (vì cả hai đều làm tam giác đều)

    AMDM lần lượt là trung tuyến của \Delta ABC\Delta BDC.

\Rightarrow AM=DM

\Delta AMD cân tại M có: MN là trung tuyến (N là trung điểm AD)

\Rightarrow MN là đường cao \Delta AMD (đl)

\Rightarrow MN\perp AD

Chứng minh tương tự, ta cũng có MN\perp BC.

\left\{\begin{matrix} MN\perp AD\\ MN\perp BC\\ M\in BC;\: N\in AD \end{matrix}\right.BC, AD chéo nhau

\Rightarrow MN là đường vuông góc chung của BC và AD (đpcm)

 

Một số bài tập

1. Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Tính khoảng cách giữa hai cạnh đối của tứ diện đó theo a.

(mở rộng của Ví dụ 3)

 

2. Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh a. Tính khoảng cách từ đỉnh D' đến đường chéo AC'.

 

3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh là a. SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD)SA=a.

a) Gọi E là trung điểm CD. Tính khoảng cách từ S đến BE.

b) Gọi K, M lần lượt là trung điểm SCAB. Tính khoảng cách từ K đến CM.

 

Góc chia sẻ

Can you solve this pirate riddle?

5 tên cướp biển (Allan, Bart, Christina, Dave và Eliza) có một kho báu gồm 100 đồng vàng. Trên con tàu của mình, chúng định chia số tiền vàng theo “luật cướp biển” như sau:

Là thuyền trưởng, Allan được đưa ra một phương án chia vàng và tất cả các tên cướp biển (kể cả thuyền trưởng) sẽ biểu quyết phương án đó. Nếu 50% hoặc nhiều hơn đồng ý thì phương án được thông qua và họ sẽ chia tiền theo cách đó. Trường hợp ngược lại, Allan sẽ bị vứt xuống biển và chiếc ghế thuyền trưởng giao lại cho Bart. Quá trình trên sẽ được tiếp diễn với các cướp biển còn lại. Người cuối cùng là Eliza.

Tất nhiên, mỗi tên cướp biển đều muốn sống và giành nhiều vàng nhất có thể. Nhưng vì là cướp biển, bọn chúng không tin tưởng lẫn nhau, nên ko có chuyện hợp tác ở đây!

Hơn nữa, chúng luôn khát máu, và nếu chúng nghĩ kiểu gì thì cuối cùng chúng cũng chỉ có một lượng vàng như thế, chúng sẽ bỏ phiếu để thuyền trưởng nhảy cầu CHO VUI.

Giả sử rằng cả 5 tên cướp biển đều xuất sắc trong việc suy luận, và chúng biết những tên khác cũng thế, vậy Allan cần đề xuất cách chia như thế nào để chắc chắn mình còn sống và nhận được nhiều vàng nhất có thể?

Gợi ý: Vì Eliza là người cuối cùng, nên cô ta có nhiều sự lựa chọn nhất. Hãy bắt đầu suy luận ngược từ ả!

 

Đáp án: https://www.youtube.com/watch?v=Mc6VA7Q1vXQ 

 

HÃY CỐ GẮNG GIẢI CÂU ĐỐ TRÊN TRƯỚC KHI TÌM ĐẾN ĐÁP ÁN NGHEN! 

Đ. D

 

 

 

Người đóng góp
Nếu thích bài viết của Phan Trần Minh Đạt, hãy theo dõi trên
Comments to: Bài 5: Khoảng cách