Bài trước ta đã được giới thiệu về đường thẳng song song với mặt phẳng. Trong bài này chúng ta sẽ tiếp tục đi tìm hiểu về hai mặt phẳng song song. Nếu để ý rằng trong hình học 2 chiều, những tính chất đúng với đường thẳng thì trong hình học 3 chiều, những tính chất tương tự như vậy sẽ đúng với mặt phẳng.

A. Tóm tắt lí thuyết:

1. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng phân biệt:

Khi cho hai mặt phẳng phân biệt, thông thường sẽ có hai trường hợp xảy ra:

• (P) và (Q) có điểm chung. Khi đó ta biết (P) và (Q) cắt nhau theo một đường thẳng.
• (P) và (Q) không có điểm chung. Khi đó ta nói chúng song song với nhau, kí hiệu (P) // (Q).

Vậy từ đó, ta suy ra định nghĩa sau:

Định nghĩa. Hai mặt phẳng gọi là song song nếu chúng không có điểm chung.

 

2. Điều kiện để hai mặt phẳng song song.

Ta có định lí sau:

Định lí

     Nếu mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng a, b cắt nhau và cùng song song với mặt phẳng (Q) thì (P) song song với (Q).

     Để chứng minh định lí trên, hãy giả sử (P) cắt (Q) tại C và suy ra điều vô lí.

3. Tính chất của hai mặt phẳng song song.

Từ định lí về hai mặt phẳng song song, ta có những tính chất sau đây:

Tính chất 1:

      Qua một điểm nằm ngoài một mặt phẳng, có một và chỉ một mặt phẳng song song với mặt phẳng đó (ta thấy khá giống với tiên đề Euclide trong đường thẳng).

Từ đây, ta có thể suy ra các hệ quả sau:

Hệ quả 1:

     Nếu đường thẳng a song song với mặt phẳng (Q) thì có duy nhất một mặt phẳng (P) chứa a và song song với (Q).

Hệ quả 2:

     Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau.

Ta đồng thời cũng có thêm một tính chất về hai mặt phẳng song song:

Tính chất 2:

     Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) song song thì mọi mặt phẳng (R) đã cắt (P) thì phải cắt (Q) và các giao tuyến của chúng song song.

4. Định lí Thales trong không gian.

Định lí Thales:

     Ba mặt phẳng đôi một song song chắn ra trên hai cát tuyến bất kì các đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.

5. Các hình đặc biệt:

1. Hình lăng trụ:

2. Hình hộp:

3. Hình chóp cụt:

B. Bài tập:

Bài 1. Cho tứ diện ABCD. Gọi E, F, G lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC, ACD và ABD. 

CMR: Mặt phẳng EFG song song với (BCD).

Bài 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của SA, SD và AB.

1. Chứng minh rằng mặt phẳng (OMN) song song với mặt phẳng (SBC).
2. Lấy điểm I thuộc ON. Chứng minh rằng PI song song với mặt phẳng (SBC).

Bài 3. Cho hai hình vuông ABCD và ABEF nằm trong hai mặt phẳng khác nhau. Trên đường chéo AC và BF lần lượt lấy hai điểm M, N sao cho AM = BN. Các đường thẳng song song với AB vẽ từ M, N lần lượt cắt AD, AF tại H, K. Chứng minh rằng:

1. Mặt phẳng (CBE) song song với mặt phẳng (ADF).
2. Mặt phẳng (DEF) song song với mặt phẳng (MHNK).

Bài 4. Cho tứ diện ABCD có AB = AC = AD. Chứng minh rằng các đường phân giác ngoài của góc BAC, CAD, DAB đồng phẳng.

Bài 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang (AD // BC, AD > BC). Gọi M, N, E lần lượt là trung điểm của AB, CD, SA.

1. Chứng minh rằng MN song song với (SBC), từ đó suy ra (MEN) song song với (SBC).
2. Tìm giao điểm F của (MNE) và SD. Tìm thiết diện của (MNE) với hình chóp.
3. Chứng minh SC song song (MNE).
4. AF có song song với (SBC) không? Tại sao?