Bài 5: Đạo hàm cấp hai

Định nghĩa

Cho hàm số $f$ có đạo hàm $f'$ . Nếu $f'$ cũng có đạo hàm thì đạo hàm của nó được gọi là đạo hàm cấp hai của $f$ và ký hiệu là $f''$ , tức là $f''=(f')'$ .

Nói nôm na: Đạo hàm cấp hai nghĩa là bạn sẽ đạo hàm một hàm số hai lần liên tiếp.

Ví dụ 1. Xét $f(x)=x^3-3x^2+2x-5$ . Hàm số có đạo hàm $f'(x)=3x^2-6x+2$ . Có thể thấy $f'(x)$ cũng là một hàm số có đạo hàm, và đạo hàm của nó là:

$f''(x)=[f'(x)]'=(3x^2-6x+2)'=6x-6$

$f'$ còn gọi là đạo hàm cấp một của hàm số $f$ . Đạo hàm cấp hai của hàm số $y=f(x)$ còn được ký hiệu là $y''$ .

Ý nghĩa cơ học của đạo hàm cấp hai

Lý thuyết: Nếu một chất điểm chuyển động có phương trình chuyển động $s=s(t)$ thì vận tốc tức thời tại thời điểm t₀ của chất điểm đó là $v(t_0)=s'(t)$ . (liên hệ bài 1)

Khi đó, nếu $t_0$ nhận một số gia $\Delta t$ thì $v(t_0)$ nhận một số gia là

$\Delta v=v(t_0+\Delta t)-v(t_0)$ .

Trong cơ học, $a(t_0)=\lim_{\Delta t\rightarrow 0}{\frac{\Delta v}{\Delta t}}$ được gọi là gia tốc tức thời tại thời điểm $t_0$ của chất điểm đó.

Gia tốc (tức thời) $a(t_0)$ tại thời điểm $t_0$ của một chất điểm chuyển động cho bởi phương trình $s=s(t)$ bằng đạo hàm cấp hai của hàm số $s=s(t)$ tại điểm $t_0$ , tức là $a(t_0)=s''(t_0)$ .

Đạo hàm cấp cao

Cho hàm số $f$ có đạo hàm cấp $n-1$ (với $n\in \mathbb{N},n\geq 2$ ) là $f^{(n-1)}$ .

Nếu $f^{(n-1)}$ có đạo hàm thì đạo hàm của nó được gọi là đạo hàm cấp n của hàm số $f$ và ký hiệu là $f^{(n)}$ . Nói cách khác: $f^{(n)}=\left [f^{(n-1)} \right] '$ .

Đạo hàm cấp n của hàm số $y=f(x)$ còn được ký hiệu là $y^{(n)}$ .

Ví dụ 2. Hàm số $y=x^3+7x^2-4x$ có $y^{(3)}=6$ và tất nhiên, $y^{(n)}=0$ với mọi $n\geq 4$ .

Một số bài tập

DẠNG I: Tính đạo hàm cấp a của hàm số (với a cho trước)

Phương pháp: Tính đạo hàm từng cấp và tăng dần cho đến khi tìm được đạo hàm cấp a.

Ví dụ 3. Tìm đạo hàm cấp ba của hàm số: $y=cos^2x$

Giải

Ta có:

$y=\cos^2x=\frac{1}{2}(1+\cos2x)$

$\Rightarrow y'=-\sin2x$

$\Rightarrow y''=-2\cos 2x$

$\Rightarrow y^{(3)}=4\sin2x$ .

BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Tìm đạo hàm đến cấp được chỉ ra của các hàm số sau:

a) $y=-\tan3x$ $(y''')$

b) $y=-x^4+5x^2+3x-7$ $(y^{(4)})$

c) $y = \sin x+\cos2x$ $(y''')$

d) $y=x^2+\frac{1}{x}-x$ $(y^{(4)})$

e*) $y=\sqrt[3]{x^2}+x$ $(y^{(3)})$

DẠNG II: Tính đạo hàm cấp n của hàm số

BƯỚC 1. Tìm $y',y'',y'''$ . Dựa vào các đạo hàm đó, dự đoán $y^{(n)}$ .

BƯỚC 2. Chứng minh công thức vừa dự đoán là đúng bằng phương pháp quy nạp.

BƯỚC 3. Kết luật đạo hàm cấp n cần tìm.

Ví dụ 4. Tìm đạo hàm cấp n của hàm số $y=\frac{1}{x+1}$ :

Giải

Ta có:

$y'=-\frac{1}{(x+1)^2}=-(x+1)^{-2}$

$y''=2(x+1)^{-3}$ ;

$y'''=-2.3(x+1)^{-4}$ ; …

“Mạnh dạn” dự đoán: $y^{(n)}=(-1)^n.n!.(x+1)^{-(n+1)}=\frac{(-1)^n.n!}{(x+1)^{n+1}}$ với $n\in\mathbb{N},n\geq 2$ (1).

. $n=2$ : (1) quá đúng.

. $n=k$ $(k\in \mathbb{N},k\geq 2)$ : giả sử $y^{(k)}=\frac{(-1)^k.k!}{(x+1)^{k+1}}$ .

. $n=k+1$ : cần chứng minh $y^{(k+1)}=\frac{(-1)^{k+1}.(k+1)!}{(x+1)^{k+2}}$ .

Ta có:

$y^{(n+1)}=\left [ y^{(n)} \right ]'$ $=\left [ (-1)^k.k!.(x+1)^{-(k+1)} \right ]'=-(-1)^k.k!(k+1)(x+1)^{-(k+1)-1}$

$=(-1)^{k+1}.(k+1)!.(x+1)^{-(k+2)}$

$=\frac{(-1)^{k+1}.(k+1)!}{(x+1)^{k+2}}$

Theo nguyên lý quy nạp $\Rightarrow$ đpcm.

Vậy $y^{(n)}=\frac{(-1)^n.n!}{(x+1)^{n+1}}$ là đạo hàm cấp n của $y=\frac{1}{x+1}$ .

Lưu ý: Điểm mấu chốt trong phương pháp này chính là ở việc bạn nhìn ra được công thức tổng quát rồi chứng minh nó! Chỉ cần nhìn ra được thì c/m quy nạp ko có gì khó khăn nữa.

BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Tìm đạo hàm cấp n ( $n\in \mathbb{N},n\geq 2$ ) của các hàm số sau:

a) $y=\sin x$

b) $y=\frac{2}{3-x}$

c) $y=\sqrt[3]{4x+1}$

d*) $y=\frac{2x+1}{x^2-4x+3}$

Góc chia sẻ

Kuroko no Basket! Đã là dân chơi bóng rổ thì chắc ai cũng biết tới một trong những bộ anime cực kỳ đình đám này hen! Ngoài những pha block đi vào lòng người của Murasakibara, những pha đi bóng hú hồn của Akashi, hay sự sao chép hoàn hảo của Kise, … bộ truyện còn chứa đựng những thông điệp ý nghĩa về cuộc sống và sự nỗ lực. Mặc dù Midorima là nhân vật yêu thích nhất của mình, nhưng câu nói dưới đây mới thực sự khiến mình tâm đắc. Các khán giả của Kuroko no Basket đâu rồi? Các bạn đoán xem câu này Aomine nói vào lúc nào nha!

“I won’t say you’ll definitely be able to do it if you don’t give up. But if you do give up, then there’ll definitely be nothing.”

– Daiki Aomine –