Bài trước ta đã được giới thiệu sơ lược về những định nghĩa và khái niệm cơ bản của Đạo hàm. Trong bài này, ta sẽ đi tìm hiểu một số quy tắc tính đạo hàm được chứng minh bằng định nghĩa của đạo hàm mà ta đã được học ở bài trước.

A. Lý thuyết

1. Nhắc lại khái niệm đạo hàm:

Định nghĩa đạo hàm:

Giới hạn hữu hạn (nếu có) của tỉ số $\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$ khi x dần đến $x_0$ được gọi là đạo hàm của hàm số đã cho tại điểm $x_0$ , ký hiệu là $f'(x_0)$ , nghĩa là:

$f'(x_0)=\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}.$

2. Qui tắc tính đạo hàm theo định nghĩa:

Qui tắc: Muốn tính đạo hàm của hàm số f tại điểm $x_0$ theo định nghĩa, ta thực hiện hai bước sau:

Bước 1: Tính $\Delta y$ theo công thức $\Delta y=f(x+\Delta x)-f(x_0)$ ,trong đó $\Delta x$ là số gia của biến số tại điểm $x_0.$
Bước 2: Tìm giới hạn $\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}.$

3. Các qui tắc tính đạo hàm:

1. Quy tắc tính đạo hàm:

Ta có các quy tắc tính đạo hàm căn bản sau:

1. (C)’ = 0.
2. (x)’ = 1.
3. $(x^n)'=n.x^{n-1}.$
4. $(\sqrt{x})'=\frac{1}{2\sqrt{x}}.$

Các quy tắc này có thể chứng minh một cách dễ dàng bằng định nghĩa.

2. Đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương của hàm số:

Tương tự, ta còn có một số quy tắc cơ bản sau:

1. $(u\pm v)'=u'\pm v'.$ Từ đây ta suy ra: $(u_1\pm u_2\pm ...\pm u_n)'=u_1'\pm u_2'\pm ...\pm u_n'.$
2. $(uv)'=u'v+v'u.$
3. $(uvw)=u'vw+uv'w+uvw'.$
4. $(ku)'=ku'.$
5. $(\frac{u}{v})'=\frac{u'v-v'u}{v^2}\Rightarrow (\frac{1}{v})'=\frac{-v'}{v^2}.$

Các quy tắc này có thể chứng minh một cách dễ dàng bằng định nghĩa,

Ví dụ 1. Cho hàm số f(x) xác định trên R, $f(x)=2x^2+1.$ Tính giá trị của f'(- 1).

Áp dụng một số công thức đạo hàm, ta có:

f'(x) = 4x, suy ra f'(- 1) = – 4.

Ví dụ 2. Cho hàm số f(x) xác định trên R, $f(x)=-x^4+4x^3-3x^2+2x+1.$ Tính giá trị của f'(- 1).

Tương tự như ví dụ 1, áp dụng một số công thức đạo hàm, ta sẽ có:

$f'(x)=-4x^3+12x^2-6x+2\Rightarrow f'(-1)=24.$

3. Đạo hàm của hàm số hợp:

Cho hàm số y = f(u(x)) = f(u) với u = u(x). Từ đây, ta có:

$y_x'=y_u'.u_x'$

4. Bảng công thức đạo hàm của một số hàm sơ cấp cơ bản:

Đạo hàm	Hàm hợp
(c)’ = 0
(x’) = 1
$(x^\alpha )'=\alpha x^{\alpha -1}.$	$(u^\alpha )'=\alpha u^{\alpha -1}u'.$
$(\sqrt{x})'=\frac{1}{2\sqrt{x}}.$	$(\sqrt{u})'=\frac{u'}{2\sqrt{u}}.$
$(\sqrt[n]{x})'=\frac{1}{n\sqrt[n]{x^{n-1}}}.$	$(\sqrt[n]{u})'=\frac{u'}{n\sqrt[n]{u^{n-1}}}.$