Bài 1: Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm
  1. Đạo hàm

Bài 1: Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm

Written by Posted on Less than 0 min read

     Bước chân vào cấp 3, chắc hẳn ai cũng từng nghe qua hai chữ “đạo hàm” rồi hen! Khái niệm Đạo hàm (Derivative) thực chất bắt nguồn từ nhu cầu tính toán vật lý của các nhà Vật Lý học thời xưa. Cùng với Tích phân và Vi phân, Đạo hàm là một trong ba công cụ đắc lực của Isaac Newton trong các bài toán về cơ và nhiệt của ông. Do đó, vai trò của mảng kiến thức về đạo hàm là vô cùng to lớn! Nào, chúng ta bắt đầu thôi! <3

Đạo hàm tại một điểm

Định nghĩa

Cho hàm số y=f(x) xác định trên khoảng (a;b) và điểm x_{0}\in \left ( a;b \right )

     Hàm số y=f(x) được gọi là có đạo hàm tại x=x_0 nếu giới hạn\displaystyle \lim_{x\to{x_{0}}}{}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\displaystyle \lim_{\Delta x\to0}{}\frac{\Delta y}{\Delta x}=f'(x_0) tồn tại hữu hạn.

\Delta x=x-x_0 (1) là số gia của biến số tại điểm x_0.

\Delta y=f(x)-f(x_0)=f(x_0+\Delta x)-f(x_0) (2) là số gia của hàm số. 

* Chú ý: Các công thức (1) và (2), đặc biệt là công thức (2), thường được dùng để tính số gia \Delta y của một hàm số ứng với số gia \Delta x của biến số tại điểm x_0.

Ví dụ 1: Tính số gia của hàm số y = x^2 + 1 ứng với số gia \Delta x của biến số tại x_0 = 2.

Ta có:

\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)

 

= (x_0+\Delta x)^2 + 1 - x_0^2 - 1

= 2x_0(\Delta x) + (\Delta x)^2

Tại x_0=2 thì

\Delta y = 2.2(\Delta x) + (\Delta x)^2 = (\Delta x)^2 + 4\Delta x

Cách tính đạo hàm bằng định nghĩa

Đề bài: Tính đạo hàm của hàm số y = f(x) = x^2-5x+6 tại x_0 = -3.

BƯỚC 1. Tính số gia của hàm số

\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)

BƯỚC 2. Lập tỉ số 

\frac{\Delta y}{\Delta x}.

BƯỚC 3. Tính đạo hàm

f'(x_0)=\displaystyle \lim_{\Delta x\to0}{}\frac{\Delta y}{\Delta x}.

Giải

Bước 1. Ta có:

\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)

= (x_0+\Delta x)^2 - 5(x_0+\Delta x) +6- x_0^2 +5x_0-6

=2x_0(\Delta x) +(\Delta x)^2-5(\Delta x).

Tại x_0 = -3 thì \Delta y=2(-3)(\Delta x) +(\Delta x)^2-5(\Delta x) = (\Delta x)^2-11(\Delta x).

Bước 2.  

\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{(\Delta x)^2-11(\Delta x)}{\Delta x}=\Delta x-11

Bước 3. Đạo hàm

f'(x_0)=\displaystyle \lim_{\Delta x\to0}{}\frac{\Delta y}{\Delta x}=-11

 

Quan hệ giữa sự tồn tại của đạo hàm và tính liên tục của hàm số

Ta thừa nhận định lý sau:

     Nếu hàm số y=f(x) có đạo hàm tại x_0 thì nó liên tục tại điểm đó.

 

Tức là: Nếu hàm số y=f(x) gián đoạn tại x_0 thì nó không có đạo hàm tại đó.

Chẳng hạn, hàm số f(x)=\left\{\begin{matrix} -x^2& (x\geq 0)\\ x&(x<0) \end{matrix}\right. liên tục tại x_0 nhưng không có đạo hàm tại đó.

* Chú ý: (1) Định lý trên không có định lý đảo, tức nếu một hàm số liên tục tại x_0 thì chưa chắc hàm số này có đạo hàm tại điểm đó.

               (2) Định lý trên còn được khai thác như một phương pháp chứng minh hàm số liên tục.

 

Đạo hàm trên một khoảng

     Hàm số y=f(x) có đạo hàm trên khoảng (a;b) nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm x thuộc khoảng đó.

     Như vậy, ta có một hàm số mới biến mỗi x \in (a;b) thành f'(x). Hàm số f'(x) gọi là đạo hàm của hàm số f trên khoảng (a;b).

Ví dụ 2: Dùng định nghĩa, tính đạo hàm của hàm số y = \sqrt{3-x} với x\in (-\infty;3) :

Ta có:

f'(x_0)=\displaystyle \lim_{\Delta x\to0}{}\frac{\Delta y}{\Delta x}

=\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0}\frac{{\sqrt {3 - (x + \Delta x)} - \sqrt {3 - x} }}{{\Delta x}}

=-\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0}\frac{1}{{\sqrt {3 - (x + \Delta x)} + \sqrt {3 - x} }}

=-\frac{1}{{2\sqrt {3 - x} }}

 

Ý nghĩa của đạo hàm

Ý nghĩa hình học

Tiếp tuyến của đường cong phẳng

HÌNH 1. Ý nghĩa hình học của đạo hàm

     Đạo hàm của hàm số {\displaystyle y=f(x)} tại x_{0} là hệ số góc của tiếp tuyến {\displaystyle P_{0}T} của (C) tại điểm {\displaystyle P_{0}(x_{0};f(x_{0}))}.

 

Tức là: f'(x_0)=\lim_{x_P \rightarrow x_0}{\frac{f(x_P)-f(x_0)}{x_P-x_0}}=\lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\frac{\Delta y}{\Delta x}} = \lim_{\Delta x \rightarrow 0}{tan\phi }=tan\alpha

Phương trình tiếp tuyến

     Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm y=f(x) tại {\displaystyle M_{0}(x_{0};f(x_{0}))} là {\displaystyle y-y_{0}=f'(x_{0})(x-x_{0})} trong đó {\displaystyle y_{0}=f(x_{0})}. 

 

Ý nghĩa vật lý

     Đạo hàm có rất nhiều ứng dụng, đặc biệt là trong Vật Lý (vì nó bắt nguồn từ đây mà!). Trong phạm vi kiến thức Lý phổ thông, chúng ta sẽ tìm hiểu qua về hai ứng dụng sau:

Vận tốc tức thời

     Chuyển động thẳng đều có phương trình dạng {\displaystyle s=s(t)} là một hàm số có đạo hàm, khi đó vận tốc tức thời xác định bằng công thức:

{\displaystyle v(t_{0})=s'(t_{0})=\lim _{t\to t_{0}}{\frac {s(t)-s(t_{0})}{t-t_{0}}}}

 

Cường độ tức thời của dòng điện
     Điện lượng Q truyền trong dây dẫn là một hàm số thời gian của t hay {\displaystyle Q=Q(t)} với cường độ trung bình của dòng điện trong khoảng thời gian {\displaystyle \left\vert t-t_{0}\right\vert } là {\displaystyle I={\frac {Q(t)-Q(t_{0})}{t-t_{0}}}} hoặc đơn giản chỉ là {\displaystyle I(t_{0})=Q'(t_{0})}.

 

Thông tin bên lề

  • Theo Wikipedia, “đạo hàm của một hàm số thực chất là sự mô tả sự biến thiên của hàm số tại một điểm nào đó.”
  • Cùng với Tích phân (Integral), Đạo hàm là một trong hai khái niệm cơ bản của Giải tích.
  • Newton và Leibniz được lịch sử công nhận là độc lập với nhau phát minh ra giải tích nói chung và khái niệm đạo hàm nói riêng.
  • Leibniz, từ việc giải quyết bài toán tiếp tuyến, đã đưa ra khái niệm “vi phân” và xây dựng đạo hàm dựa theo khái niệm này; trong khi đó, Newton phát minh ra đạo hàm chỉ để sáng tạo ra một công cụ thích hợp, phục vụ cho các tính toán trong một lý thuyết vĩ đại mà sau này đã đặt nền móng cho cơ học cổ điển: Thuyết vạn vật hấp dẫn. (nguồn: https://toanhoctuoidep.wordpress.com/2014/08/08/dao-ham-la-gi-3/)

 

Góc chia sẻ

     Chào bạn đọc! Chắc các bạn đang thắc mắc: đang phiêu diêu cùng đạo hàm, tự nhiên từ đâu xuất hiện một góc “chẳng liên quan gì” thế này?! Thật ra theo mình quan niệm, học hành là phải tự nguyện, không ép buộc được. Mà để tự nguyện học, người học phải thấy thoải mái, vui vẻ – và mình đã tạo ra góc chia sẻ này. Chuyên mục này là nơi mình sẽ chia sẻ những thứ mà mình thấy tâm đắc, có thể là những câu châm ngôn chí lí, những câu chuyện thú vị về học tập, gia đình, tình yêu … Mong muốn của mình là mang đến một phong cách cá nhân mới đến với những bài học trên Lecttr, và giúp các bạn xả stress sau khi nhồi nhét đống kiến thức khô khan ở trên! Hi vọng các bạn sẽ luôn ủng hộ Lecttr và mình! 😀

     Nhân đây là bài viết đầu tiên, mình xin mạn phép chia sẻ một câu nói mà mình thấy rất hay nhưng không biết vì sao!

“Nếu đã không xinh thì phải thông minh. <3”

– L.N.T.N – Crush của tác giả –

HÌNH thứ N. À thì ... Hình minh họa

Đ.D

Thành viên kể từ
Độc thân vui tính! Ai muốn hốt thì nhớ hốt lẹ nha! Vã lắm rồi!
Người đóng góp
Nếu thích bài viết của Phan Trần Minh Đạt, hãy theo dõi trên

Related articles

Next
No Comments
Leave a comment Cancel
Comments to: Bài 1: Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm