Bài 3: Đạo hàm của các hàm số lượng giác

Đạo hàm của các hàm số lượng giác

Đạo hàm của các hàm số lượng giác cơ bản, cũng như hàm hợp lượng giác, được tóm tắt trong bảng dưới đây:

ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC	ĐẠO HÀM CỦA HÀM HỢP LƯỢNG GIÁC
$(\sin x)'=\cos x$	$(\sin u)'=u'.\cos u$
$(\cos x)'=-\sin x$	$(\cos u)'=u'.(-\sin u)$
$(\tan x)'=1+\tan^2x=\frac{1}{\cos^2x}$	$(\tan u)'=u'.(1+\tan^2u)=\frac{u'}{\cos^2x}$
$(\cot x)'=-(1+\cot^2x)=-\frac{1}{\sin^2x}$	$(\cot u)'=-u'.(1+\cot^2u)=-\frac{u'}{\sin^2x}$

Lưu ý: Hàm số $u=u(x)$ có đạo hàm trên $J$ và $u(x)$ thỏa tập xác định của hàm số lượng giác $\forall x\in J$ .

Chứng minh

Giới hạn $\dpi{150} \lim_{x\rightarrow 0}{\frac{\sin x}{x}}$

Muốn xây dựng các công thức đạo hàm của các hàm số lượng giác, trước tiên ta phải nghiên cứu giới hạn này.

Người ta đã chứng minh được định lý $\lim_{x\rightarrow 0}{\frac{\sin x}{x}}=1$ . Ngoài ra:

Nếu hàm số $u=u(x)$ thỏa mãn $u(x)\neq 0$ với mọi $x\neq x_0$ và $\lim_{x \rightarrow x_0}{u(x)}=0$ thì $\lim_{x \rightarrow x_0}{\frac{\sin u(x)}{u(x)}}=1$ .

Ví dụ 1. $\lim_{x \rightarrow 0}{\frac{1-\cos x}{2x^2}}=\lim_{x \rightarrow 0}{\frac{\sin^2 {\frac{x}{2}}}{x^2}}=\lim_{x \rightarrow 0}{\left [\frac{1}{4} \left ( \frac{\sin{\frac{x}{2}}}{\frac{x}{2}} \right )^2\right ]}$

$=\frac{1}{4}\left (\lim_{x \rightarrow 0}{\frac{\sin{\frac{x}{2}}}{\frac{x}{2}}} \right )^2$ $=\frac{1}{4}$ .

Đạo hàm của hàm số y = sin x

Ta sẽ tính đạo hàm của hàm số $y=\sin x$ tại điểm $x$ bất kỳ thuộc $\mathbb{R}$ bằng định nghĩa.

. $\Delta y = \sin(x+\Delta x)-\sin x=2\cos\left ( x+\frac{\Delta x}{2} \right )\sin{\frac{\Delta x}{2}}$ .

. Giới hạn $\lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\frac{\Delta y}{\Delta x}}=\lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\left [ 2\cos\left ( x+\frac{\Delta x}{2} \right ) \frac{\sin{\frac{\Delta x}{2}}}{\frac{\Delta x}{2}}.\frac{1}{2}\right ]}$ .

. Do $\lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\frac{\sin{\frac{\Delta x}{2}}}{\frac{\Delta x}{2}}}=1$ và $\lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\cos\left ( x+\frac{\Delta x}{2} \right )}=\cos x$ nên $\lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\frac{\Delta y}{\Delta x}}=\cos x$ .

Vậy $(\sin x)'=\cos x$ .

Đạo hàm của hàm số y = cos x

$(\cos x)'=\left [ \sin{\left ( \frac{\pi }{2}-x \right )} \right ]'=\left ( \frac{\pi }{2}-x \right )'\cos{\left ( \frac{\pi}{2}-x \right )}$

$=-\cos\left ( \frac{\pi}{2}-x \right )=-\sin x$ .

Đạo hàm của hàm số y = tan x

$(\tan x)'=\left ( \frac{\sin x}{\cos x} \right )'=\frac{(\sin x)'.\cos x-\sin x.(\cos x)'}{\cos^2x}$

$=\frac{\sin^x+\cos^2x}{\cos^2x}=\frac{1}{\cos^2x}$ .

Đạo hàm của hàm số y = cot x

$(\cot x)'=\left ( \frac{\cos x}{\sin x} \right )'=\frac{(\cos x)'.\sin x-\cos x.(\sin x)'}{\sin^2x}$

$=-\frac{\sin^2x+\cos^2x}{\sin^2x}=-\frac{1}{\sin^2x}$ .

Đạo hàm của hàm hợp

Về phần chứng minh này, mình xin nhường lại cho bạn đọc nhé!

Gợi ý: áp dụng các công thức đạo hàm lượng giác đã chứng minh ở trên và các quy tắc tính đạo hàm (bài 2).

Một số bài tập

1/ Tìm đạo hàm của các hàm số sau:

a) $y=\cos 2x - \sin x$

b) $y=3\sin^2x+8\sin x\cos x-1$

c) $y =\cot 2x+\tan x.\sin x$

d) $y=\tan(x^3-4x+2)$

e) $y=\sin(x+1)-\cos(x-1)$

f) $y=6x+7\left |\cos6x \right |$

2/ Chứng minh rằng: $y'-y^2-1 = 0$ , với $y=\tan x$

Góc chia sẻ

Bạn không tin vào sự tồn tại của các lời nguyền? Bạn chẳng mảy may gì đến những câu chuyện huyền bí trên thế giới, cho rằng chúng chỉ là chuyện phù du và không có thật? Nếu thế, mình xin mạn phép chia sẻ một câu chuyện hết sức thú vị về một viên kim cương – vốn là một trong ba dạng thù hình phổ biến của cacbon – bị nguyền rủa, và trên hết, đây là một câu chuyện có thật được in trong một quyển sách đáng tin cậy!

LỜI NGUYỀN CỦA VIÊN KIM CƯƠNG

Nó to và mang màu xanh dương – đẹp có một không hai và quý có một không hai.

Không một ai biết nó từ đâu ra. Một số người thầm thì kể cho nhau nghe rằng, đây là con mắt của một nữ thần Ấn Độ, bị người ta đánh cắp ra khỏi một đền thờ. Và rất có thể vì thế mà nó bị nguyền rủa.

Nhà vua nước Pháp đã mua viên kim cương này, và hoàng hậu Marie Antoinette đã đeo nó. Năm 1793, bà bị chặt đầu và viên đá quý giá của bà bị đánh cắp.

Năm 1830, viên đá quý này xuất hiện trong một cuộc bán đấu giá tại London. Người mua nó là ông chủ nhà băng, Henry Hope. Sau đó, Hope chết trong cảnh nghèo nàn; cả vương quốc tài chính của ông ta sụp đổ.

Một hoàng tử trẻ tuổi đã mua viên kim cương cho cô bạn gái của anh. Sau đó, chính anh ta đã bắn chết cô.

Một tiểu vương Thổ Nhĩ Kỳ mua viên kim cương. Chỉ vài tuần sau, ông bị cướp ngôi.

Một người Hy Lạp giàu có mua viên kim cương, ôn ta qua đời khi đi ô tô ngang một bờ vực.

Chủ nhân tiếp theo của viên kim cương là một nữ triệu phú người Mỹ. Chồng bà ta nổi điên và hai đứa con của bà qua đời trong một tai nạn thảm thương.

Chủ nhân tiếp theo đó đã tỏ ra thông minh mà trao viên kim cương cho một viện bảo tàng. Và lẽ ra câu chuyện phải kết thúc ở đây mới đúng chứ.

Thế nhưng vào năm 1962, giám đốc viện bảo tàng kia lại lấy viên kim cương ra khỏi chỗ, định đưa nó sang thành Paris để trưng bày – và vận chuyển nó trong túi quần của ông! Cái máy bay đó chậm tới 4 tiếng đồng hồ và chiếc ô tô chở người đàn ông sa vào một vụ tai nạn. Ông giám đốc may mắn không bị thương, nhưng ông ta không bao giờ dám cầm viên kim cương này đi đâu nữa.

(Nguồn: Horrible Science – Hóa học, một vụ nổ ầm vang – Nick Arnold & Tony de Saulles)

Đ. D

Phan Trần Minh Đạt Thành viên kể từ November 11, 2019

Độc thân vui tính! Ai muốn hốt thì nhớ hốt lẹ nha! Vã lắm rồi!

Người đóng góp

Bài 3: Đạo hàm của các hàm số lượng giác

Đạo hàm của các hàm số lượng giác

Chứng minh