Đến với Hình học 11, chúng ta đã được tiếp xúc với một phân ngành hết sức thú vị và quan trọng của Hình học – đó chính là Hình học không gian. Bộ môn này xuất phát từ nhu cầu tính toán thực tiễn của con người, từ những mong muốn khám phá bản chất của các sự vật xung quanh chúng ta, và không để các bạn chờ lâu nữa, chúng ta sẽ cùng xem và ôn lại một chút, về những gì đã được học nha!

 

Phép dời hình – Phép đồng dạng trong mặt phẳng

À mà khoan đã, chúng ta phải ôn lại một chút về chương 1 nữa chớ! Chương 1 nằm tách riêng hẳn với hai chương còn lại luôn, vì nó … chẳng liên quan gì nhiều đến phần Hình học không gian ở hai chương sau. Hmm, chắc nhiều bạn sẽ quên về mấy phép này lắm, nên tụi mình cùng xem lại xíu xiu nha!

Khởi động

Lý thuyết

Chương này gồm có những nội dung chính sau: 

Phép dời hình: là phép biến hình bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì.

+ Phép tịnh tiến theo vectơ \vec{v} là phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M' sao cho \overrightarrow{MM'}=\vec{v}.

Ký hiệu: T_{\vec{v}}(M)=M'.

   Biểu thức tọa độ: \left\{\begin{matrix} T_{\vec{v}}(M)=M'\\ M=(x;y)\\ M'=(x';y')\\ \vec{v}=(a;b) \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x'=x+a\\ y'=y+a \end{matrix}\right.

 

Phép quay tâm O, góc lượng giác \alpha là phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M' sao cho OM'=OM và góc lượng giác \alpha=(OM;OM').

Ký hiệu Q_{(O;\alpha)}(M)=M'.

   Biểu thức tọa độ: \left\{\begin{matrix} Q_{(O;\alpha)}(M)=M'\\ M=(x;y)\\ M'=(x';y')\\ \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x'=x\cos\alpha-y\sin\alpha\\ y'=x\sin\alpha+y\cos\alpha \end{matrix}\right.

 

Phép đối xứng trục qua đường thẳng d là phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M' sao cho dđường trung trực của đoạn MM'.

Ký hiệu: D_{d}(M)=M'.

 

Phép đối xứng tâm qua tâm I là phép biến hình biến mỗi điểm M thành M' sao cho Itrung điểm của đoạn thẳng MM'.

Ký hiệu: D_I(M)=M'.

 

– Phép đồng dạng theo tỉ số k (k>0) là phép biến hình với hai điểm M,N và ảnh M',N', ta có M'N'=k.MN.

Phép vị tự tâm I, tỉ số k (k\neq 0) là phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M' sao cho \overrightarrow{IM'}=k\overrightarrow{IM}.

Ký hiệu: V_{(I;k)}(M)=M'.

   Biểu thức tọa độ: \left\{\begin{matrix} V_{(I;k)}(M)=M'\\ M=(x;y)\\ M'=(x';y')\\ I=(a;b) \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x'=kx+(1-k)a\\ y'=ky+(1-k)b\end{matrix}\right.

 

– Tính chất của các phép biến hình và phương pháp giải các dạng bài tập.

 

Mở rộng

Bạn có biết: Phép biến hình chính là một trong những mảng Toán học mang đến nhiều ứng dụng nhất cho lĩnh vực hội họa và kiến trúc.

Thật vậy! Dựa trên những quy tắc hình học của nó, các nhà hội họa và kiến trúc đã xây dựng nên một hệ thống vô cùng khoa học về các quy luật cho lĩnh vực của mình. Rất nhiều họa sĩ, kiến trúc sư am hiểu về Toán học, và đã thổi vào tác phẩm của mình những “chất Toán” có một không hai. Người thành công và nổi tiếng nhất trong số đó, chính là một “nhà hội họa Toán học”, M.C. Escher. Bài viết này không kể lại tiểu sử của ông, mà muốn giới thiệu các bạn đến với những tác phẩm đặc biệt của họa sĩ này. Các bạn có thấy bóng dáng phép biến hình phảng phất đâu đây không?

HÌNH 1. Tác phẩm của Escher (1)

Sky and Water I – June 1938

 

HÌNH 2. Tác phẩm của Escher (2)

Circle Limit III – December 1959

 

HÌNH 3. Tác phẩm của Escher (3)

Circle Limit IV (Heaven and Hell) – July 1960

 

HÌNH 4. Tác phẩm của Escher (4)

Mobius Strip I – May 1961

 

HÌNH 5. Tác phẩm của Escher (5)

Sphere Spirals – October 1958

 

HÌNH 6. Tác phẩm của Escher (6)

Tetrahedral Planetoid – April 1954

 

HÌNH 7. Tác phẩm của Escher (7)

Dwarves – 1938

 

HÌNH 8. Tác phẩm của Escher (8)

System II – Crab Canon

 

HÌNH 9. Tác phẩm của Escher (9)

Relativity – July 1953

 

HÌNH 10. Tác phẩm của Escher (10)

Up and Down – July 1947

 

Và còn rất nhiều, rất nhiều những tác phẩm tuyệt vời khác. Các bạn có thể chiêm ngưỡng tại link này: https://mcescher.com/gallery/

 

Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Quan hệ song song

Lý thuyết

Đây rồi, hình học không gian đã đến. Như mình đã nói, hình học không gian thật sự có một sức hút rất lạ lùng đối với những bạn đam mê Toán. Và bây giờ, chúng ta sẽ ôn lại những gì đã học trong chương 2 nha!

– Đại cương về đường thẳng và mặt phẳng:

+ Giới thiệu những đối tượng hình học trong không gian cùng những tính chất cơ bản của chúng.

+ Cách xác định một mặt phẳng trong không gian (ba điểm không thẳng hàngmột điểm và một đường thẳng không đi qua điểm đóhai đường thẳng cắt nhau).

+ Các quy tắc vẽ hình trong không gian.

+ Khái niệm giao tuyến của hai mặt phẳng. Cách xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (cơ bản).

+ Khái niệm hình chóp và hình tứ diện.

+ Một số dạng toán cơ bản (tìm giao tuyến 2 mặt phẳngtìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳngtìm thiết diện của một mặt phẳng với một hình chópchứng minh ba điểm thẳng hàng, ba  đường thẳng đồng quy)

– Vị trí tương đối của hai đường thẳng. Các định lý và cách chứng minh hai đường thẳng song song.

– Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng. Các định lý và cách chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng.

– Vị trí tương đối của hai mặt phẳng. Các định lý và cách chứng minh hai mặt phẳng song song.

– Định lý Thalès và Thalès đảo trong không gian.

– Tổng hợp các phương pháp xác định giao tuyến của hai mặt phẳng.

– Giới thiệu hình lăng trụ, hình hộp và hình chóp cụt.

Đọc thêm: Phép chiếu song song.

 

Mở rộng

Qua một điểm ở ngoài một đường thẳng, có một và chỉ một đường thẳng song song với đường thẳng đã cho.

 

Các bạn còn nhớ câu tiên đề trên, cái câu đã từng rất quen thuộc với chúng ta không? Đúng vậy, nó chính là tiên đề Euclid, một trong số ít những phát biểu được thừa nhận mà không cần phải chứng minh. À thì, không ai chứng minh được nó, nhưng cũng không ai phản bác được, nên nó mới được gọi là tiên đề. Thế nhưng vào một ngày đẹp trời nọ (chắc vậy!), một chuyện động trời đã xảy ra: nhà Toán học Nga Nicolai Ivanovich Lobachevsky đã khởi xướng nên một lý thuyết Toán học mới, dựa trên cơ sở bác bỏ tiên đề V trong hệ thống hình học Euclid – cũng chính là tiên đề Euclid vừa nêu. Đó là hình học Lobachevsky, hay còn gọi là hình học hyperbolic – một nhánh của Hình học phi Euclid

 

Theo đó, ông cho rằng: 

Qua một điểm ở ngoài một đường thẳng, tồn tại ít nhất hai đường thẳng không cắt đường thẳng đã cho.

 

Các bạn có thấy vô lý không? Làm sao có thể như vậy được? Ban đầu lúc đọc được lý thuyết này, mình cũng thắc mắc y chang như vậy. Nhưng sau này mình đã nhận ra: tiên đề Euclid chỉ đúng trong mặt phẳng mà thôi.

Nếu xét trên cả mặt cầu, thì tiên đề hoàn toàn sai. Nhờ những khám phá đó của mình, Lobachevsky đã có đóng góp rất lớn về cơ sở toán học cho Lý thuyết tương đối của Albert Einstein và nhiều ứng dụng khác trong cơ học lượng tửvật lý thiên văn

 

Muốn biết thêm chi tiết, hãy tham khảo ở link này nha: https://www.youtube.com/watch?v=LPET_HhN0VM

 

HÌNH 11. Hình học phi Euclid

 

Vectơ trong không gian. Quan hệ vuông góc trong không gian

Lý thuyết

Chương này tiếp tục nói về hình học không gian. Nếu nhưng chương 2 là bàn về mấy chuyện song song (như cuộc tình của mình với crush), thì chương này nói về vuông góc (thứ sẽ chẳng bao giờ xảy ra cũng giữa mình với crush). Chương này nói về một vài thứ như sau: 

– Vectơ trong không gian và các phép toán vectơ trong không gian (cũng na ná vectơ trong mặt phẳng).

– Thế nào là ba vectơ đồng phẳng? Cách chứng minh ba vectơ đồng phẳng, 4 điểm đồng phẳng.

– Khái niệm góc giữa hai đường thẳng, hai đường thẳng vuông góc và cách chứng minh.

– Khái niệm, tính chất và cách chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng.

– Khái niệm mặt phẳng trung trực của một đoạn thẳng. Định lý ba đường vuông góc.

– Khái niệm góc giữa đường thẳng và mặt phẳng và cách tính.

– Khái niệm, tính chất và cách chứng minh hai mặt phẳng vuông góc.

– Khái niệm góc giữa hai mặt phẳng và cách tính.

– Các dạng khoảng cách (giữa hai đường thẳng song song, hai đường thẳng chéo nhau, giữa điểm và đường thẳng, giữa đường thẳng và mặt phẳng song song, hai mặt phẳng song song).

 

Mở rộng

Sẵn đang nói về chuyện vuông góc các kiểu, chúng ta sẽ cùng xem một đoạn clip thú vị, về một thứ nghe có vẻ dễ nhưng chúng ta thường hay không chú ý đến, hoặc bỏ quên nó. Đó chính là CÁCH CHỨNG MINH ĐỊNH LÝ PYTAGO.

 

Liệu bạn có thể trở thành một anh hùng?

 

 

CHÚC CÁC BẠN ĐÃ CÓ MỘT CUỘC PHIÊU LƯU THÚ VỊ!

Đ. D

 

Người đóng góp
Nếu thích bài viết của Phan Trần Minh Đạt, hãy theo dõi trên
Comments to: Ôn tập cuối năm