Phương pháp chứng minh bằng quy nạp
Bài toán: “Chứng minh mệnh đề chứa biến P(n) đúng với mọi số nguyên dương n \( (n \leq n_{0}) \)
Bước 1: Kiểm chứng P(n) đúng với n = n0
Bước 2: Giả sử P(n) đúng khi n = k \( (k \leq n_{0}) \). Chứng minh P(n) đúng khi n = k + 1
Bước 3: Kết luận P(n) đúng với mọi số nguyên dương n, với \( (n \leq n_{0}) \)
Ví dụ: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên \( n \leq 1 \), ta có \( 1^{3}+2^{3}+…+n^{3}=\frac{n^{2}(n+1)^{2}}{4}\; (*) \)
Bài giải
Với n = 1, ta có \( 1^{3}=\frac{1^{2}(1+1)^{2}}{4}=1 \) \( \Rightarrow \) đúng với n = 1
Giả sử (*) đúng với n = k \( (k \leq n_{0}) \), tức là: \( 1^{3}+2^{3}+…+k^{3}=\frac{k^{2}(k+1)^{2}}{4} \)
Ta chứng minh (*) cũng đúng với n = k + 1, tức là: \( 1^{3}+2^{3}+…+k^{3}+(k+1)^{3}=\frac{(k+1)^{2}(k+2)^{2}}{4} \)
Thật vậy, \( 1^{3}+2^{3}+…+k^{3}+(k+1)^{3}=\frac{k^{2}(k+1)^{2}}{4}+(k+1)^{3} \) \( = (k+1)^{2}(\frac{k^{2}}{4}+k+1) \) \( = (k+1)^{2}(\frac{k^{2}+4k+4}{4}) \) \( =\frac{(k+1)^{2}(k+2)^{2}}{4} \)
Vậy theo phương pháp quy nạp, ta có điều phải chứng minh.
No Comments
Leave a comment Cancel