1. Lí thuyết

Ta lưu ý một số hình chóp đặc biệt:

Tứ diện là hình chóp có đáy là tam giác.
Hình chóp đều là hình chóp có đáy là đa giác đều và các cạnh bên bằng nhau.

a. Thể tích khối chóp: V =$ \frac{1}{3}$ B.h

Trong đó:

B là diện tích đáy của khối chóp
h là chiều cao của khối chóp

b. Công thức tính diện tích xung quanh: Diện tích xung quanh = Tổng diện tích các mặt bên.

c. Công thức tính diện tích toàn phần: Diện tích toàn phần = Diện tích xung quanh + Diện tích đáy.

d. Công thức tỉ số thể tích (lưu ý: chỉ áp dụng cho tứ diện).

Cho tứ diện S.ABC, A’ nằm bất kì trên SA, B’ nằm bất kì trên SB, C’ nằm bất kì trên SC.

Khi đó:$\frac{V_{S.A’B’C’}}{V_{S.ABC}}=\frac{SA’}{SA}.\frac{SB’}{SB}.\frac{SC’}{SC}.$

2. Một số ví dụ:

Bài 1. Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng x. Diện tích xung quanh gấp đôi diện tích đáy. Tính thể tích V của khối chóp đó?

Giải

Hình chóp tứ giác đều sẽ có đường cao là từ đỉnh S xuống tâm O của đáy ABCD, mà đáy ABCD là hình vuông (tứ giác đều có các cạnh bằng nhau, các góc bằng nhau). Gọi M là trung điểm CD

Suy ra diện tích của SCD = $\frac{x^2}{2}$ , suy ra SM = x, OM = $\frac{x}{2}$ .

Từ đây, ta suy ra SO = $\sqrt{x^2-\frac{x^2}{4}}=\frac{x\sqrt{3}}{2}.$

Áp dụng công thức tính thể tích, suy ra V = $\frac{x^3\sqrt{3}}{6}.$

Lưu ý. Để có thể giải được bài tập thể tích khối đa diện, điều quan trọng nhất cần phải tìm là hình chiếu từ đỉnh xuống đáy và độ dài của hình chiếu.

3. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1. Cho khối chóp tam giác đều S.ABC có AB = a, SA = $a\sqrt{3}$ . Tính thể tích khối chóp.

A. $\frac{a^3\sqrt{2}}{4}.$

B. $\frac{a^3\sqrt{6}}{3}.$

C. $\frac{a^3\sqrt{6}}{12}.$

D. $\frac{a^3\sqrt{2}}{6}.$

Câu 2. Cho khối chóp tam giác đều S.ABC có AB = a, góc giữa SA và (ABC) bằng 30 độ. Tính thể tích khối chóp.

A. $\frac{a^3\sqrt{3}}{12}.$

B. $\frac{a^3\sqrt{3}}{36}.$

C. $\frac{a^3\sqrt{3}}{18}.$

D. $\frac{a^3\sqrt{3}}{6}.$

Câu 3. Cho khối chóp tam giác đều S.ABC có AB = a, góc giữa (SBC) và (ABC) bằng 30 độ. Tính thể tích khối chóp S.ABCD.

A. $\frac{a^3\sqrt{3}}{36}.$

B. $\frac{a^3\sqrt{3}}{24}.$

C. $\frac{a^3\sqrt{3}}{72}.$

D. $\frac{a^3\sqrt{3}}{12}.$

Câu 4. Cho khối chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng $a\sqrt{3}.$ Tính thể tích khối chóp S.ABCD.

A. $\frac{a^3\sqrt{10}}{6}.$

B. $\frac{a^3\sqrt{10}}{3}.$

C. $\frac{a^3\sqrt{5}}{3}.$

D. $\frac{a^3\sqrt{5}}{6}.$

Câu 5. Cho tứ diện ABCD có AB, AC, AD đôi một vuông góc nhau, AB = 6a, AC = 7a, AD = 4a. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CD, DB. Tính thể tích khối tứ diện AMNP.

A. $\frac{7a^3}{2}.$

B. $14a^3.$

C. $\frac{28a^3}{3}.$

D. $7a^3.$

Câu 6. Cho tứ diện đều ABCD. Biết khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (BCD) bằng 6. Tính thể tích của khối tứ diện ABCD.

A. $\frac{9\sqrt{3}}{2}.$

B. $5\sqrt{3}.$

C. $27\sqrt{3}.$

D. $\frac{27\sqrt{3}}{2}.$

Câu 7. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a. Gọi điểm O là giao điểm của AC và BD. Biết khoảng cách từ O đến SC bằng $\frac{a}{\sqrt{6}}.$ Tính thể tích V của khối chóp S.ABC theo a.