Bài 4: Biến cố và xác suất của biến cố

Phép thử và không gian mẫu

Phép thử là một thí nghiệm hay một hành động mà:

• Kết quả của nó không đoán trước được.
• Có thể xác định được tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của hành động đó.

Tập hợp mọi kết quả của một phép thử T được gọi là không gian mẫu của T và kí hiệu là $\mathbf{\Omega }$.

Ví dụ 1:

Phép thử “gieo một con xúc xắc cân đối và đồng chất” có không gian mẫu là:

$\Omega =\left\{1,2,3,4,5,6\right\}$

Xét phép thử “gieo hai đồng xu phân biệt”, kí hiệu S để chỉ đồng xu “sấp”, N để chỉ đồng xu “ngửa” thì không gian mẫu của phép thử là:

$\mathrm{\Omega }=\left\{\mathrm{NN},\mathrm{NS},\mathrm{SN},\mathrm{SS}\right\}$

Biến cố

Xét phép thử: “gieo một con xúc xắc cân đối và đồng chất” có không gian mẫu là:

$\Omega =\left\{1,2,3,4,5,6\right\}$

Xét biến cố A: “Số chấm trên mặt là số nguyên tố”

Biến cố A xảy ra khi kết quả của phép thử T là số nguyên tố.

Các kết quả này được gọi là kết quả thuận lợi cho A, được mô tả bởi

${\mathrm{\Omega A}}_{}=\left\{2,3,5\right\}$ là một tập con của $\Omega$.

Tổng quát:

Biến cố A liên quan đến phép thử T là biến cố má mà việc xảy ra hay không xảy ra của A phụ thuộc vào 2 kết quả của T.

Mỗi kết quả của phép thử T làm cho A xảy ra được gọi là một kết quả thuận lợi cho A.

Tập hợp các kết quả thuận lợi cho A được kí hiệu là ${\mathrm{\Omega A}}_{}$.

Ta nói biến cố A được mô tả bởi tập ${\mathrm{\Omega A}}_{}$

Biến cố chắc chắn là biến cố luôn xảy ra khi thực hiện phép thử T

Biến cố không thể là biến cố không bao giờ xảy ra khi thực hiện phép thử T, được mô tả bởi tập hợp rỗng.

Ví dụ 2:

Xét phép thử T: “Gieo một con xúc xắc”:

“Số chấm trên mặt xuất hiện là một số tự nhiên từ 1 đến 6” là biến cố chắc chắn.

“Số chấm trên mặt xuất hiện là 7” là một biến cố không thể.

Xác suất

Ví dụ 3: Xét phép thử T: “Gieo một con xúc xắc”. Các kết quả của T là các số tự nhiên từ 1 đến 6, như vậy không gian mẫu của T là:

$\Omega =\left\{1,2,3,4,5,6\right\}$

Các mặt của con xúc xắc có cùng kả năng xuất hiện nên 6 kết quả trên là đồng khả năng.

Xét biến cố A: “Số chấm là một hợp số”.

Ta có:

${\Omega }_A=\left\{4;6\right\}$

Khi đó tỉ số 

$\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$

được gọi là xác suất của A.

Xác suất của biến cố A là:

$P\left(A\right)=\frac{{\Omega }_A}{\Omega }=\frac{\mathrm{số}\mathrm{phần}\mathrm{tử}\mathrm{của}\mathrm{A}}{\mathrm{số}\mathrm{phần}\mathrm{tử}\mathrm{của}\mathrm{\Omega }}$

Suy ra:

$0\le P\left(A\right)\le 1;P\left(\Omega \right)=1;P(\varnothing )=0$

Ví dụ 4: Trong một hộp gồm 4 quả cầu đỏ, 3 quả cầu xanh, lấy ngẫu nhiên một quả cầu trong hộp. Tính xác suất để lấy được quả cầu đỏ

Bài giải

Gọi A là biến cố: “Lấy được quả cầu đỏ”

Ta có:

$\left|{\mathrm{\Omega A}}_{}\right|$=7

$\Rightarrow P\left(A\right)=\frac{3}{7}$

Thống kê của xác suất

Xét phép thử T và biến cố A. Ta tiến hành lập đi lặ lạ N lần phép thử T và thống kê xem biến cố A xuất hiện bao nhiêu lần. Khi đó:

Số lần xuất hiện biến cố A được gọi là tần số của A.

Tỉ số

$\frac{\mathrm{Tần} \mathrm{số} \mathrm{của} \mathrm{A}}{\mathrm{N}}$

được gọi là tần suất của A

Tần suất được xem như giá trị gần đúng của xác suất. Trong khoa học thực nghiệm, người ta thường lấy tần suất làm xác suất. Vì vậy tần suất còn được gọi là xác suất thực nghiệm