Các bước khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của một hàm số

Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số

Bước 2: Khảo sát sự biến thiên của hàm số

  • Tính giới hạn (nếu có) để suy ra các đường tiệm cận của hàm số.
  • Tính đạo hàm y', cho đạo hàm y'=0 tìm nghiệm.
  • Lập bảng biến thiên, suy ra các khoảng đơn điệu, cực trị của hàm số (nếu có).

Bước 3: Vẽ đồ thị hàm số:

  • Vẽ các đường tiệm cận (nếu có).
  • Tìm các điểm đặc biệt của đồ thị: điểm định hướng nhánh vô tận, giao điểm của đồ thị với các trục tọa độ (trong trường hợp tọa độ giao điểm với các trục phức tạp thì bỏ qua).
  • Nhận xét đồ thị: chỉ ra trục đối xứng, tâm đối xứng. 
  • Xác định điểm uốn của đồ thị là điểm I(x_{o},f(x_{o})) với x_o là điểm mà tại đó đạo hàm cấp 2 f''(x) đổi dấu (nếu có)

Hàm số \LARGE y=ax^{3}+bx^{2}+cx+d (a ≠ 0) 

1. Tập xác định: \mathfrak{D}=\mathbb{R}

2. Khảo sát sự biến thiên của hàm số

  • Giới hạn:

Khi a>0: \displaystyle \lim_{x \rightarrow + \infty} y = +\infty;\lim_{x \rightarrow - \infty} y = -\infty

Khi a<0: \lim_{x \rightarrow + \infty} y = -\infty;\lim_{x \rightarrow - \infty} y = +\infty

  • y'=3ax^{2}+2bx+c\Delta'=b^{2}-3ac

Nếu Δ’>0 hàm số có 2 cực trị

Nếu Δ’≤0 hàm số không có cực trị

  • Lập bảng biến thiên:

Hàm số có 2 điểm cực trị và a>0

Hàm số có 2 điểm cực trị và a<0

Hàm số không có điểm cực trị

  • f'(x)=0 có nghiệm kép

a>0:

a<0:

  • f'(x)=0 vô nghiệm

a>0:

a<0:

Kết luận các khoảng đơn điệu và cực trị của hàm số

3. Đồ thị

Ví dụ 1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y=x^{3}+3x^{2}-4

Bài giải

Tập xác định: \mathfrak{D}=\mathbb{R}

\\\displaystyle\lim_{x\rightarrow \pm\infty}y=\pm\infty \\y'=3x^2+6x=0\Leftrightarrow \begin{bmatrix} x=0\\ x=-2 \end{matrix}

Bảng biến thiên:

Hàm số đồng biến trên  (-\infty;-2);(0;+\infty) và nghịch biến trên (-2;0)

Ta có f''(x)=6x+6=0 \Leftrightarrow x=-1\Rightarrow y=-2\Rightarrow I(-1;-2) là điểm uốn của đồ thị hàm số

Đồ thị nhận I(-1;-2) (điểm uốn) làm điểm đối xứng

Hàm số trùng phương \LARGE y=ax^{4}+bx^{2}+c

1. Tập xác định: \mathfrak{D}=\mathbb{R}

2. Khảo sát sự biến thiên của hàm số

  • Giới hạn:

Khi a>0: \lim_{x\rightarrow\pm\infty}y=+\infty

Khi a<0: \lim_{x\rightarrow\pm\infty}y=-\infty

  • y'=4ax^3+2bx

Nếuab<0: y'=0 \Leftrightarrow x=0\vee x=\pm\sqrt{\frac{-b}{2a}}

 hàm số có 3 cực trị

Nếu

ab0

: y’ chỉ đổi dấu tại x=0 

hàm số chỉ có 1 điểm cực trị x=0

  • Lập bảng biến thiên

Hàm số có ba điểm cực trị và a>0

Hàm số có ba điểm cực trị và a<0

Hàm số có 1 điểm cực trị:

a>0:

a<0:

Kết luận các khoảng đơn điệu và cực trị của hàm số

3. Đồ thị

Nhận xét: Đồ thị hàm số bậc 4 trùng phương nhận trục Oy làm trục đối xứng và luôn cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng c

Ví dụ 2: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y=x^4-2x^2+2

Bài giải

Tập xác định: 

D=

\lim_{x\rightarrow\pm\infty}y=+\infty

y'=4x^3-4x=0

x=0 x=±1

Bảng biến thiên:

Vậy hàm số nghịch biến trên

(;1);(0;1)

và đồng biến trên 

(1;0);(1;+)

 

Bài tập

Dạng 1: Nhận diện hàm số bậc ba.

Tổng quan: Cho hàm số y=ax^3+bx^2+cx+d. Nếu:

  • Hàm số có hai điểm cực trị trái dấu \Leftrightarrow \frac{c}{a}<0
  • Hàm số có hai cực trị dương \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \frac{b}{a}<0\\ \frac{c}{a}<0 \end{matrix}\right.
  • Hàm số có hai cực trị âm \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \frac{b}{a}>0\\ \frac{c}{a}<0 \end{matrix}\right.
  • Hàm số có một điểm cực trị tại x=0 và cực trị kia dương \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \frac{b}{a}<0\\ c=0 \end{matrix}\right.
  • Hàm số có một điểm cực trị tại x=0 và cực trị kia âm\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \frac{b}{a}>0\\ c=0 \end{matrix}\right.
  1. Cho đồ thị như hình vẽ

Hỏi đồ thị là của hàm số nào?

A. y=x^3+3x^2-3x+1

B. y=-x^3-2x^2+x-2

C. y=-x^3+3x+1

D. y=x^3+3x^2+3x+1

2. Cho đồ thị như hình vẽ.

Hỏi đồ thị là của hàm số nào?

A. y=-x^3+3x+1

B. y=x^3-3x+1

C. y=-x^3+3x^2+1

D.y=-x^3-3x+1

3. Cho đồ thị hàm số y=ax^3+bx^2+cx+d

Khẳng định nào sau đây đúng?

A. a>0,b>0,c<0,d<0

B. a<0,b>0,c<0,d>0

C. a>0,b<0,c>0,d>0

D. a<0,b<0,c>0,d<0

4. Cho đồ thị hàm số y=ax^3+bx^2+cx+d như hình vẽ.

Hỏi khẳng định nào sau đây đúng?

A. y'>0, \forall x \in \mathbb{R}

B. y'<0, \forall x \in \mathbb{R}

C. y'>0, \forall x >1

D. y'>0, \forall x <1

Dạng 2: Nhận diện hàm số bậc bốn trùng phương

  1. Cho đồ thị như hình vẽ

    Hỏi đồ thị là của hàm số nào?

    A. y=x^4-3x^2+1

    B. y=x^3-3x^2+1

    C. y=-x^3+3x^2+1

    D. y=-x^4-3x^2+1

  2. Cho đồ thị hàm số y=ax^4+bx^2+c có đồ thị như hình vẽ.

    Tìm mệnh đề đúng.

    A. a>0, b<0, c<0

    B. a<0, b>0, c<0

    C. a>0, b<0, c>0

    D. a<0, b<0, c<0

 

 

Người đóng góp
Comments to: Bài 5.1:Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của một hàm đa thức