Bài 3: Logarit

Định nghĩa

Cho $a,b>0, \ a\neq 1$

Số thực $\alpha$ thỏa mãn $a^\alpha=b$ được gọi là logarit cơ số a của b kí hiệu là $\log_a{b}$ , nghĩa là

$a^\alpha=b \Leftrightarrow \log_a{b}=\alpha$

Trong đó:

b: biểu thức tính log (b>0)

a: cơ số ( $a\neq 1, a>0$ )

$\alpha$ : giá trị của log

Ví dụ 1: Tính $\log_2{8},\ \log_{10}{\frac{1}{10}}$

Bài giải

$\\\log_2{8}=log_2{2^3}=3\\\log_{10}{\frac{1}{10}}=log_{10}{10^{-1}}=-1$

Chú ý: Với $\forall a,b>0$ và $a\neq 1,\ \alpha \in \mathbb{R}$ ta luôn có:

$\log_a{1}=0$
$\log_a{a}=1$
$\log_a{a^\alpha}=\alpha$
$a^{\log_a{b}}=b$

Ví dụ 2:

a. Tính $\log_3{\frac{1}{9}}$

b. Tìm x biết $\log_2{(x+2)}=3$

Bài giải

a. $\log_3{\frac{1}{9}}=\log_3{\left (3^{-2} \right )}=-2$

b. $\log_2{(x+2)}=3$

$\\\Leftrightarrow x+2=2^3\\\Leftrightarrow x=6$

Tính chất

Cho b,c>0, ta có:

$a>1: \log_a{b}>\log_a{c}\Leftrightarrow b>c$

$0<a<1: \log_a{b}>\log_a{c}\Leftrightarrow b<c$

Chứng minh:

Đặt $\left\{\begin{matrix} \log_a{b}=m\Rightarrow a^m=b\\ \log_a{c}=n\Rightarrow a^n=c \end{matrix}\right.$

Xét a>1, ta có:

$b>c\\\Leftrightarrow a^m>a^n$

$\Leftrightarrow m>n$ (do a>1)

$\Leftrightarrow \log_a{b}>\log_a{c}$ (đpcm)

Xét 0<a<1, ta có:

$b>c\\\Leftrightarrow a^m>a^n$

$\Leftrightarrow m<n$ (do 0<a<1)

$\Leftrightarrow \log_a{b}<\log_a{c}$ (đpcm)

Các quy tắc tính logarit

Các công thức cơ bản

Định lí

Cho $a>0,\ a\neq 1,\ b,c>0$ , ta có:

$\log_a{\left (b.c \right )}=\log_a{b}+\log_a{c}$
$\log_a{\frac{b}{c}}=\log_a{b}-\log_a{c}$
$\log_a{(b^\alpha)}=\alpha\log_a{b}\ (\alpha\in\mathbb{R})$

Trường hợp $\alpha$ là số nguyên chẵn và chưa biết dấu của b thì ta sử dụng công thức: $\log_a{b^{2n}}=2n\log_a{|b|}\ (n\in\mathbb{N}, 0<a \neq 1, b\neq 0)$

Chẳng hạn: $\log_2{(-2)^4}=4\log_2{|-2|}$

Chứng minh:

Đặt $\left\{\begin{matrix} \log_a{b}=m\Rightarrow a^m=b\\ \log_a{c}=n\Rightarrow a^n=c \end{matrix}\right.$ , ta có:

$\log_a{b.c}=\log_a{a^m.a^n}=\log_a{a^{m+n}}=m+n=\log_a{b}+\log_a{c}$

$\log_a{\frac{b}{c}}=\log_a{\frac{a^m}{a^n}}=\log_a{a^{m-n}}=m-n=\log_a{b}-\log_a{c}$

$\log_a{b^\alpha}=\log_a{(a^m)^\alpha}=\log_a{a^{m.\alpha}}=\alpha.m=\alpha\log_a{b}$

Hệ quả

Cho $0<a \neq 1, b>0$ và $n \in \mathbb{N*}$ , ta có

$\\\log_a{\frac{1}{b}}=-\log_a{b}\\ \\\log_a{\sqrt[n]{b}}=\frac{1}{n}\log_a{b}$

Ví dụ 3: Tính giá trị biểu thứ $A=\frac{\log_7{16}}{\log_7{15}-\log_7{30}}$

Bài giải

$\\A=\frac{\log_7{16}}{\log_7{15}-\log_7{30}}\\ \\=\frac{\log_7{\left (2^4 \right )}}{\log_7{\frac{15}{30}}}\\\\ \\=\frac{\log_7{(2^4)}}{\log_7{\frac{1}{2}}}\\$

$\\=\frac{\log_7{(2^4)}}{\log_7{(2^{-1})}}\\\\ \\=\frac{4\log_7{2}}{-\log_7{2}} \\\\=-4$

Nhóm đổi cơ số

Định lí

Cho $a,b,c>0$ và $a,b \neq 1$ , ta có:

$\log_b{c}=\frac{\log_a{c}}{\log_a{b}}$

hay $\log_a{b}.\log_b{c}=\log_a{c}$

Chứng minh:

Đặt $\left\{\begin{matrix} \log_a{b}=m\Rightarrow a^m=b\\ \log_a{c}=n\Rightarrow a^n=c \end{matrix}\right.$

Ta có:

$\\\log_a{b}.\log_b{c}\\ \\=m.\log_{a^m}{a^n}\\ \\=\log_{a^m}{(a^n)^m}\\ \\=\log_{a^m}{(a^m)^n}$

$=n=\log_a{c}$ (đpcm)

$\Leftrightarrow \log_b{c}=\frac{\log_a{c}}{\log_a{b}}$

Hệ quả

Với $a,b>0$ và $a,b \neq 1$ , ta có:

$\log_a{b}=\frac{1}{\log_b{a}}$ hay $\log_a{b}.\log_b{a}=1$

Với $a,b>0$ và $a,b \neq 1$ và $\alpha>0$ , ta có:

$\log_{a^\alpha}{b}=\frac{1}{\alpha}\log_a{b}$

Với $a,b,c>0$ và $a,b,c \neq 1$ , ta có:

$a^{\log_b{c}} =c^{\log_b{a}}$

Chứng minh:

$\log_a{b}.\log_b{a}=\log_a{a}=1$
$\log_{a^\alpha}{b}=\log_{a^\alpha}{(a^m)^\frac{\alpha}{\alpha}}=\log_{a^\alpha}{(\left (a^\alpha \right )^\frac{m}{\alpha}}=\frac{m}{\alpha}=\frac{1}{\alpha}.\log_a{b}$
$a^{\log_b{c}}=c^{\log_b{a} }$

$\\ \\\Leftrightarrow {\log_a{a^{\log_b{c}}}}=\log_{a}{c^{\log_b{a}}}\\ \\\Leftrightarrow \log_a{a}.\log_b{c}=\log_a{c}.\log_b{a}$

$\Leftrightarrow \log_b{a}.\log_a{c}=\log_b{c}$ (đúng theo nội dung định lí)

Ví dụ 4: Rút gọn biểu thức $A=\log_\frac{1}{4}{\left (\log_3{4}.\log_2{3} \right )}$

Bài giải

$A=\log_\frac{1}{4}{\left (\log_3{4}.\log_2{3} \right )}=\log_{\left (2^{-2} \right )}{\left (\log_2{4} \right )}=-\frac{1}{2}.\log_2{2}=-\frac{1}{2}$

Ghi chú

Với x>0, logarit cơ số 10 của x được gọi là logarit thập phân của x. Kí hiệu: $\log{x}$

Với x>0, logarit cơ số e của x được gọi là logarit tự nhiên của x (logarit napier của x). Kí hiệu: $\ln{x}$ . Trong đó e là hằng số và $e=\lim{\left (1+\frac{1}{n} \right )^n}=2,71828...$