Bài 4: Đường tiệm cận của đồ thị hàm số

Tiệm cận đứng

Định nghĩa

Đường thẳng $x=x_{0}$ được gọi là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số nếu ít nhất một trong 4 điều kiện $\lim_{x\rightarrow x_{0}^{\pm}}y=\pm\infty$ được thỏa mãn, cụ thể:

$\lim_{x\rightarrow x_{0}^{+}}=-\infty$

$\lim_{x\rightarrow x_{0}^{-}}=+\infty$

$\lim_{x\rightarrow x_{0}^{-}}=-\infty$

$\lim_{x\rightarrow x_{0}^{+}}=+\infty$

Như vậy, điều kiện cần để hàm phân thức $y=f(x)=\frac{g(x)}{h(x)}$ nhận đường thẳng $x=x_{0}$ làm tiệm cận đứng là $x_{0}$ là nghiệm của phương trình

Chú ý: tiệm cận đứng của đồ thị hàm số sẽ không cắt đồ thị hàm số

Phương pháp tìm tiệm cận đứng

Để tìm tiệm cận đứng của đồ thị hàm số, ta cần tính giới hạn một bên của $x_{0}$ , với $x_{0}$

thường là điều kiện biên của hàm số (hay tại $x_{0}$ thì hàm số không xác định).

Ví dụ 1: Tìm tiệm cận đứng của hàm số $f(x)=\frac{3x-5}{4x-8}$

Bài giải

Tập xác định $\mathfrak{D}=\mathbb{R}\setminus \{2\}$

Ta có:

$\lim_{x\rightarrow 2^{+}}f(x)=\lim_{x\rightarrow 2^{+}}\frac{3x-5}{4x-8}=+\infty$

do:

$\{\begin{matrix} \lim_{x \to 2^{+}} (3 x - 5) = 1 > 0 \\ \lim_{x \to 2^{+}} (4 x - 8) = 0 \\ x \to 2^{+} \Rightarrow 4 x - 8 > 0 \end{matrix}$

Vậy đường thẳng x=2 là tiệm cận của hàm số

Tiệm cận ngang

Định nghĩa

Đường thẳng $y=y_{0}$ được gọi là tiệm cận ngang của hàm số nếu ít nhất 1 trong 2 điều kiện $\lim_{x\rightarrow \pm\infty}y=y_{0}\in \mathbb{R}$ được thỏa mãn, cụ thể:

$\lim_{x\rightarrow +\infty}{y}=y_{0}$

$\lim_{x\rightarrow -\infty}y=y_{0}$

Vi dụ 2: Đồ thị hàm số $y=\frac{2x-1}{x+2}$ có một đường tiệm cận ngang là

Mỗi đồ thị hàm số có thể không có, có một hoặc có hai tiệm cận ngang.

Chú ý: Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số vẫn có thể cắt đồ thị hàm số , chẳng hạn hàm số $f(x)=\frac{x+1}{\sqrt{x^{2}+1}}$

Phương pháp tìm tiệm cận ngang

Cho đồ thị hàm số phân thức $y=\frac{f(x)}{g(x)}$ , bậc n có hệ số bậc cao nhất là $a_{n}$ , bậc m có hệ số bậc cao nhất là $b_{m}$ . Khi đó, nếu:

$n<m\Rightarrow \lim_{x\rightarrow \pm\infty}y=0\Rightarrow$ tiệm cận ngang là đường thẳng
$n=m\Rightarrow \lim_{x\rightarrow \pm\infty}y=\frac{a_{n}}{b_{m}}\Rightarrow$ tiệm cận là đường thẳng $y=\frac{a_{n}}{b_{m}}$
$n>m\Rightarrow \lim_{x\rightarrow \pm\infty}y=\pm \infty \Rightarrow$ không có tiệm cận ngang

Ví dụ 3: Tìm tiệm cận ngang của hàm số $y=\frac{x^{2}+x+2}{5-3x-2x^{2}}$

Bài giải

Tập xác định: $\mathfrak{D}=(-\infty;-\frac{5}{2})\cup (-\frac{5}{2};1)\cup (1;+\infty)$

$\lim_{x\rightarrow +\infty}y\\ =\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{x^{2}+x+2}{5-3x-2x^{2}}\\ =\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{x^{2}(1+\frac{1}{x}+\frac{2}{x^{2}})}{x^{2}(\frac{5}{x^{2}}-\frac{3}{x}-2)}\\ =\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{1+\frac{1}{x}+\frac{2}{x^{2}}}{\frac{5}{x^{2}}-\frac{3}{x}-2}\\ =\frac{1+0+0}{0+0-2}\\ =-\frac{1}{2}$

Vậy TCN của hàm số là đường thẳng $y=-\frac{1}{2}$

Ví dụ 4: Cho hàm số $y=\frac{x-1}{x+2}$ có đồ thị (C). Xét tam giác đều ABI với $A, B \in (C)$ và I là giao điểm hai tiệm cận của (C), độ dài đoạn AB là (THPTQG-2018-Mã đề 101, câu 45):

$\\A.\sqrt{6}\\ B. 2\sqrt{3}\\ C. 2\\ D. 2\sqrt{2}$

Bài giải

Kẻ $IH \bot AB$

Nhận thấy IH// đường phân giác (II), (IV) nên $AB\bot$ đường phân giác (II), (IV)

$\Rightarrow\ (AB): y=x+m$

$\vec{AB}=(x_{A}-x_{B};y_{A}-y_{B})=(x_{A}-x_{B};x_{A}-x_{B})$

$\Rightarrow AB=\(x_{A}-x_{B})\sqrt{2}$

Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (AB) là:

$\frac{x-1}{x+2}=x+m\\ \Leftrightarrow x^{2}+(m+1)x+2m+1=0(*)$

(*) có hai nghiệm phân biệt

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 1\neq0\\ \Delta =m^{2}-6m-3>0 \end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow \begin{bmatrix} m>3+2\sqrt{3}\\ m<3-2\sqrt{3} \end{matrix}$