Bài 6: Bất phương trình mũ và logarit

Bất phương trình mũ

Bất phương trình mũ cơ bản

Định nghĩa

Bất phương trình mũ cơ bản là bất phương trình có một trong các dạng:

$a^x>m,\ a^x<m,\ a^x\geq m,\ a^x\leq m$ với $a,\ m$ cho trước thỏa mãn $a > 0$ và $a \neq 1$ (x là ẩn số)

Cách giải

Dùng tính chất đồng biến, nghịch biến của hàm logarit (logarit hóa)

Với bất phương trình $a^x>m\ (*)$

Nếu $m\leq0$ thì tập nghiệm là $S=\mathbb{R}$ (do $a^x>0, \forall x\in \mathbb{R}$ )

Nếu $m>0$ thì:

Trường hợp 1: $a>1$

$(*)\Leftrightarrow \log_a{\left ( a^x \right )}>\log_a{m}$ (do hàm số $y=\log_a{t}$ đồng biến trên tập xác định)

$\Leftrightarrow x>\log_a{m}$

Trường hợp 2: $0<a<1$

$(*)\Leftrightarrow \log_a{\left ( a^x \right )}<\log_a{m}$ (do hàm số $y=\log_a{t}$ nghịch biến biến trên tập xác định)

$\Leftrightarrow x<\log_a{m}$

Đối với bất phương trình $a^x\geq m$ ta giải tương tự bất phương trình $a^x>m$

Đối với bất phương trình $a^x<m$ và $a^x\leq m$ :

Nếu $m\leq0$ thì tập nghiệm là $S=\varnothing$ (do $a^x>0, \forall x\in \mathbb{R}$ )
Nếu $m>0$ ta giải tương tự bất phương trình $a^x>m$

Ví dụ 1: Giải bất phương trình

a. $3^x>81$

b. $\left (\frac{1}{2} \right )^x>32$

Bài giải

a. $3^x>81$

$\Leftrightarrow \log_3{\left ( 3^x \right )}>\log_3{81}$

$\Leftrightarrow x>4$

Vậy $S=(4;+\infty)$

b. $\left (\frac{1}{2} \right )^x>32$

$\Leftrightarrow \log_\frac{1}{2}{\left ( \frac{1}{2} \right )^x}<\log_\frac{1}{2}{32}$

$\Leftrightarrow x<-5$

Vậy $S=(-\infty;-5)$

Một số phương pháp giải

Tương tự như với phương trình mũ, ta thường dùng các phương pháp: quy đồng cơ số, đặt ẩn phụ, logarit hóa

Ví dụ 2: Giải các bất phương trình

a. $3^{x^2-2x}<27$

b. $3.2^{x+2}+4^x<8^x$

Bài giải

a. $3^{x^2-2x}<27$

$\Leftrightarrow 3^{x^2-2x}<3^{3}$

$\Leftrightarrow x^2-2x<3$

$\Leftrightarrow x^2-2x-3<0$

$\Leftrightarrow -1<x<3$

Vậy $S=(-1;3)$

b. $3.2^{x+2}+4^x<8^x$

$\Leftrightarrow 2^{3x}-2^{2x}-12.2^x>0$

$\Leftrightarrow 2^{2x}-2^x-12>0$

Đặt $t=2^x\ (t>0)$ , bất phương trình trở thành:

$t^2-t-12>0$

$\Leftrightarrow \begin{bmatrix} t>4\ \textup{(n)}\\ t<-3\ \textup{(l)} \end{matrix}$

$\Leftrightarrow 2^x>2^2$

$\Leftrightarrow x>2$

Vậy $S=(2;+\infty)$

Bất phương trình logarit

Bất phương trình mũ cơ bản

Định nghĩa

Bất phương trình logarit cơ bản là bất phương trình có một trong các dạng:

$\log_a{x}>m,\log_a{x}<m,\log_a{x}\geq m,\log_a{x}\leq m$ với $a,\ m$ cho trước thỏa mãn $a > 0$ và $a \neq 1$ (x là ẩn số)

Cách giải

Dùng tính chất đồng biến, nghịch biến của hàm mũ (mũ hóa)

Đối với bất phương trình $\log_a{x}>m\ (*)$ ,

Trường hợp 1: $a>1$

$(*)\Leftrightarrow a^{\log_a{x}}>a^m$ (do hàm số $y=a^t$ đồng biến trên tập xác định)

$\Leftrightarrow x>a^m$

Trường hợp 2: $0<a<1$

$(*)\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x>0\\ a^{\log_a{x}}<a^m \end{matrix}\right.$ (do hàm số $y=a^t$ nghịch biến trên tập xác định)

$\Leftrightarrow 0<x<a^m$

Tương tự như trên với bất phương trình $\log_a{x}\geq m$

Đối với bất phương trình $\log_a{x}<m$ :

Trường hợp 1: $a>1$

$(*)\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x>0\\ a^{\log_a{x}}<a^m \end{matrix}\right.$ (do hàm số $y=a^t$ đồng biến trên tập xác định)

$\Leftrightarrow 0<x<a^m$

Trường hợp 2: $0<a<1$

$(*)\Leftrightarrow a^{\log_a{x}}>a^m$ (do hàm số $y=a^t$ nghịch biến trên tập xác định)

$\Leftrightarrow x>a^m$

Tương tự với bất phương trình $\log_a{x} \leq m$

Có thể tìm tập xác định của bất phương trình trước khi giải.

Ví dụ 3: Giải bất phương trình

a. $\log_2{x}>3$

b. $\log_{0,5}{x}>3$

Bài giải

a. $\log_2{x}>3$

$\Leftrightarrow 2^{\log_2{x}}>2^3$

$\Leftrightarrow x>8$

Vậy $S=(8;+\infty)$

b. $\log_{0,5}{x}>3$

$\Leftrightarrow (0,5)^{\log_{0,5}{x}}<0,5^3$

$\Leftrightarrow x<\frac{1}{8}$

Vậy $S=\left (-\infty;\frac{1}{8} \right )$

Một số phương pháp giải

Tương tự như với phương trình logarit, ta thường dùng các phương pháp: quy đồng cơ số, đặt ẩn phụ.

Ví dụ 4: Giải bất phương trình $\log_2{\left (x-3 \right )}+\log_2{\left (x-2 \right )}\leq 1$

Bài giải

$\mathfrak{D}=(3;+\infty)$

$\log_2{\left (x-3 \right )}+\log_2{\left (x-2 \right )}\leq 1 \\\Leftrightarrow \log_2\left [(x-3)(x-2) \right ]\leq 1 \\\Leftrightarrow (x-3)(x-2) \leq 2 \\\Leftrightarrow x^2-5x+4\leq 0 \\\Leftrightarrow 1\leq x \leq 4$

So với điều kiện, tập nghiệm của bất phương trình là $3<x\leq 4$

lớp-12

davidle2810 Thành viên kể từ April 30, 2019

Người đóng góp

Bài 6: Bất phương trình mũ và logarit

Bất phương trình mũ

Bất phương trình mũ cơ bản

Định nghĩa

Cách giải

Một số phương pháp giải

Bất phương trình logarit

Bất phương trình mũ cơ bản

Định nghĩa

Cách giải

Một số phương pháp giải

Commonly Misused Words (Part 3)

Chuyên đề 1 (Hàm số mũ và logarit): Tìm tập xác định

Bài 44: Hóa học và vấn đề xã hội

Bài 1,2,3: Số phức

Bài 4: Đường tiệm cận của đồ thị hàm số

Bài 3: Logarit

Bài 22: Luyện tập: Tính chất của kim loại

Chương tình Ngữ Văn 12

No Comments

Bất phương trình mũ

Bất phương trình mũ cơ bản

Định nghĩa

Cách giải

Một số phương pháp giải

Bất phương trình logarit

Bất phương trình mũ cơ bản

Định nghĩa

Cách giải

Một số phương pháp giải

Related articles

No Comments