Chuyên đề: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất bằng đạo hàm

Bài tập mẫu:

Đối với dạng này, điều tiên quyết ta cần làm là đưa biểu thức về một ẩn. Đến lúc đó ta mới có thể sử dụng đạo hàm để tìm GTLN và GTNN.

Ví dụ 1. (Đề đại học khối D – 2009) Cho các số thực không âm x, y và thỏa mãn x + y = 1. Tìm GTLN và GTNN của biểu thức \( S=(4x^2+3y)(4y^2+3x)+25xy \)

Do x + y = 1, nên ta sẽ cố dồn về x + y = 1 để ra được một biểu thức đẹp hơn. Để tìm GTLN, GTNN bằng đạo hàm thì ta phải đưa biểu thức về 1 biến, hiện tại thì S có 2 biến x và y nên không thể sử dụng đạo hàm được.

Ta có:

\( S=16x^2y^2+12(x^3+y^3)+9xy+25xy\) \(=16x^2y^2+12[(x+y)^3-3xy(x+y)]+34xy\) \(=16x^2y^2-2xy+12\)

Vậy là ta đã đưa S về biến xy, đến đây đặt xy = t thì S trở thành:\( S=16t^2-2t+12.\)

Dễ thấy t phải thuộc đoạn 0 và \( \frac{1}{4}\).

Đến đây ta sử dụng đạo hàm: S’ = 32t – 2 = 0 suy ra t = \( \frac{1}{16}\)

Ta lập bảng biến thiên ra và dễ dàng suy ra được maxS = \( \frac{25}{2}\), trong khi minS = \( \frac{191}{6}\)

Đối với trắc nghiệm, đến đây ta có thể tự tin khoanh vào đáp án có trong đề. Tuy nhiên, đối với tự luận, ta còn phải chỉ ra được, đẳng thức, hay dấu bằng xảy ra khi nào. 

Bằng tính toán, ta sẽ tính được maxS =\( \frac{25}{2}\Leftrightarrow (x;y)=(\frac{1}{2};\frac{1}{2})\)

Tương tự, minS =\( \frac{191}{6}\Leftrightarrow (x;y)=(\frac{2\pm \sqrt{3}}{4};\frac{2\mp \sqrt{3}}{4})\)

Bài tập áp dụng:

Bài 1. (Đại học khối B – 2012) Cho các số thực x, y, z thỏa mãn x + y + z = 0 và\(x^2+y^2+z^2=1.\). Tìm GTLN của \(P=x^5+y^5+z^5.\)

Bài 2. Tìm Max của biểu thức x(1 – x)(1 + x), với x thuộc [0; 1].

Bài 3. Tìm Max, Min của biểu thức \( \frac{8x+3}{4x^2+1}.\)

Bài 4. Cho hai số dương x, y thỏa mãn x + y = 1. Tìm GTNN của biểu thức P = \( \frac{x}{\sqrt{1-x}}+\frac{y}{\sqrt{1-y}}. \)

Bài 5. (Đại học khối B – 2011) Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn\( 2(a^2+b^2)+ab=(a+b)(ab+2).\)

Tìm GTNN của biểu thức\( P=4(\frac{a^3}{b^3}+\frac{b^3}{a^3})-9(\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{a^2}).\)

Bài 6. Cho x, y là hai số thực thay đổi thỏa mãn\(x^2+y^2=1\). Tìm GTNN của biểu thức \(P=x\sqrt{1+y}+y\sqrt{1+x}\)

Bài 7. (Đại học khối D – 2012) Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện \((x-4)^2+(y-4)^2+2xy\leq 32\). Tìm GTNN của biểu thức \(P=x^3+y^3+3(xy-1)(x+y+2).\)