Lí thuyết
Dạng 1. Rút gọn đẳng thức, chứng minh biểu thức
Ví dụ 1. Tính tổng \(S=C_{2015}^{0}-2.C_{2015}^{1}+2^2.C_{2015}^{2}-2^3.C_{2015}^{3}+…-2^{2015}C_{2015}^{2015}.\)
Ta áp dụng công thức nhị thức Newton với a = 1, b = – 2, ta có:
\((1-2)^{2015}=C_{2015}^{0}.1^{2015}-C_{2015}^{1}.1^{2014}.2+C_{2015}^{2}.1^{2013}.2^2-…-C_{2015}^{2015}.2^{2015} \) \(\Rightarrow S=(1-2)^{2015}=-1.\)Ví dụ 2. Tìm n thỏa mãn: \(C_{2n+1}^{n+1}+C_{2n+1}^{n+2}+…+C_{2n+1}^{2n}=2^{100}-1.\)
Ta sử dụng một tính chất rất quan trọng của tổ hợp:
- \(C_{n}^{0}=C_{n}^{n}=1.\)
- \(C_{2n+1}^{n+1}=C_{2n+1}^{n}.\)
- …
- \(C_{2n+1}^{2n}=C_{2n}^{1}.\)
Từ đây ta suy ra:
\(2A+2=C_{2n+1}^{0}+C_{2n}^{1}+…+C_{2n+1}^{n-1}+C_{2n+1}^{n}+…+C_{2n+1}^{2n}+C_{2n+1}^{2n+1} \) \( \Rightarrow A=2^{2n}-1=2^{100}-1\) \( \Leftrightarrow n=50. \)Dạng 2. Xác định hệ số, số hạng khi triển khai lũy thừa
Ví dụ 3. Tìm hệ số của \(x^3\) trong khai triển hệ thức Newton của \((x^2+\frac{2}{x})^{12}.\)
Áp dụng công thức nhị thức Newton:
\((x^2+\frac{2}{x})^12=\sum_{k=0}^{12}C_{12}^{k}(x^2)^{12-k}.(\frac{2}{x})^k\) \(\Rightarrow 24-3k=3\Leftrightarrow k=7.\)Vậy hệ số của \(x^3\) trong khai triển là \(C_{12}^{7}.2^7=101376.\)
Ví dụ 4. Tìm hệ số của \( x^6 \) của đa thức \(P(x)=25x^6+x^3(1+x)^4.\)
Tương tự, ta lại áp dụng công thức nhị thức Newton:
\((1+x)^4=\sum_{k=0}^{4}C_{4}^{k}x^k\) \(\Rightarrow x^3(1+x)^4=\sum_{k=0}^{4}C_{4}^{k}x^{k+3}.\)Vậy hệ số của \(x^6\) là 25 + \(C_{4}^{3}\) =29.
Bài tập tự luyện
Bài 1. Tìm số tự nhiên n thỏa mãn: \(C_{2n}^{0}+C_{2n}^{2}+C_{2n}^{4}+…+C_{2n}^{2n}=2^{2015}.\)
Bài 2. Tìm số hạng chứa \(x^3\) trong khai triển \((x-\frac{2}{x^2})^n\) biết n là số tự nhiên thỏa \(C_{n}^{3}=\frac{4}{3}n+2C_{n}^{2}.\)
Bài 3. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển \((x-\frac{2}{\sqrt{x}})^n\), biết \(A_{n}^{2}=C_{n}^{n-2}+C_{n}^{n-1}+4n+6.\)
Bài 4. Tìm hệ số của số hạng chứa \(x^5\) trong khai triển \((x+\frac{2}{x^2})^{14}.\)
Bài 5. Tìm n thỏa mãn: \(C_{2n}^{0}+C_{2n}^{2}+C_{2n}^{4}+…+C_{2n}^{2n}=512.\)
No Comments
Leave a comment Cancel