Chuyên đề: Thể tích khối lăng trụ

Lí thuyết

Lăng trụ ABC.A’B’C’

Hình lăng trụ là một hình có:

Đáy là hai đa giác bằng nhau, nằm trên hai mặt phẳng song song
Các mặt bên là hình bình hành, có các cạnh bên song song và bằng nhau.

a. Công thức tính thể tích khối lăng trụ: V = B.h,

Trong đó:

B là diện tích đáy của lăng trụ
h là chiều cao của lăng trụ

b. Công thức tính diện tích xung quanh: Diện tích xung quanh = Diện tích các mặt bên

c. Công thức tính diện tích toàn phần: Diện tích toàn phần = Diện tích xung quanh + 2.Diện tích đáy.

Lưu ý về một số lăng trụ đặc biệt:

Lăng trụ đứng: các cạnh bên vuông góc với đáy.
Lăng trụ đều: lăng trụ đứng, đáy là đa giác đều.
Hình hộp: đáy là hình bình hành.
Hình hộp đứng: lăng trụ đứng, đáy là hình bình hành.
Hình hộp chữ nhật: hình hộp đứng, đáy là hình chữ nhật.
Hình lập phương: sáu mặt là hình vuông.

Chú ý: Hình hộp không phải là hình hộp chữ nhật.

Bài tập mẫu

Bài giải gợi ý

Ví dụ 1. Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có cạnh bên AA’ = a. Tính thể tích lăng trụ khi mặt (A’BC) hợp với đáy một góc 45 độ.

Ta có: Gọi S là trung điểm BC, suy ra AS vuông góc với BC, suy ra mặt phẳng (A’AS) vuông góc với BC. Mặt khác: (A’AS) giao với (A’BC) và (ABC) tại A’S và AS, suy ra góc A’SA bằng 45 độ.

Từ đây ta chứng minh được tam giác A’AS vuông cân tại A suy raAS = a.

Áp dụng định lí Pythagore, suy ra được S = $ \frac{a^2}{\sqrt{3}}$.

Suy ra V = $ \frac{a^3}{\sqrt{3}} $.

Ví dụ 2. Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh đều bằng a. Tính thể tích lăng trụ.

Lưu ý: lăng trụ tam giác đều là lăng trụ đứng, có đáy là tam giác đều.

Dễ tính được diện tích đáy =$ \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$.

Vậy thể tích của lăng trụ là V = S.h =$ \frac{a^3\sqrt{3}}{4}$.

Ví dụ 3. Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, AB = a. Biết góc giữa (A’BC) và (ABC) bằng 60 độ. Tính thể tích lăng trụ.

Ta có AA’ vuông góc với (ABC), suy ra AA’ vuông góc với BC.

Gọi S là trung điểm BC, suy ra AS vuông góc với BC, suy ra (A’AS) vuông góc với BC

Từ đây ta lại suy ra được góc ASA’ bằng 60 độ (do (A’AS) giao với (ABC) và (A’BC) tại AS và A’S)

Từ đây, áp dụng định lí Pythagore, V =$ \frac{a^3\sqrt{6}}{4}.$

Một số lưu ý

Nếu không vững kiến thức hình học lớp 11 (đặc biệt là chương Vuông góc), các bạn cần phải làm lại tất cả các bài tập lớp 11 để tránh khỏi tình trạng bị đuối.
Cần tính toán cẩn thận khi làm các bài tập dạng này, đặc biệt khi thi THPT Quốc gia.
Nên thuộc một số công thức tính nhanh, ví dụ như diện tích tam giác đều, v.v.

Bài tập tự luận

Bài 1. Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh là $a\sqrt{3}$ , góc giữa A’C và đáy là 60 độ. Gọi M là trung điểm BB’. Tính thể tích của khối chóp M.A’B’C’ (ĐS: $\frac{3a^2\sqrt{3}}{8}$)

Bài 2. Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có AB = a, AC = 2a, góc BAC bằng 120 độ. (A’BC) hợp với đáy một góc 60 độ. Tính thể tích ABC.A’B’C’ (ĐS: $\frac{3a^3\sqrt{21}}{14}.$)

Bài 3. Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD.A’B’C’D’ có cạnh đáy bằng a và mặt (DBC’) hợp với đáy ABCD một góc 60 độ. Tính thể tích khối lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ (ĐS: $\frac{a^3\sqrt{6}}{2}.$)

Bài 4. Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác vuông tại B, AB = a, BC = 2a, AA’ = 3a. Mặt phẳng (P) qua A vuông góc CA’ lần lượt cắt các đoạn CC’ và BB’ tại M và N. Tính diện tích tam giác AMN. (ĐS: $\frac{a^2\sqrt{14}}{3}.$)

Bài 5. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’. AB = a, AD = $a\sqrt{3}$ , khoảng cách từ A đến mặt phẳng (A’BD) bằng $\frac{a}{2}.$ Tính thể tích khối hộp ABCD.A’B’C’D’. (ĐS: $\frac{3a^2\sqrt{2}}{4}.$)