Bài 1: Hai quy tắc đếm cơ bản

Quy tắc cộng

Ví dụ 1: Bạn An đi từ Hà Nội đến Thành phố Hồ Chí Minh để chơi vào dịp hè. Từ Hà Nội đến Thành phố Hồ Chí Minh có thể đi bằng các phương tiện: xe đò, tàu hỏa hoặc máy bay. Biết mỗi ngày có 10 chuyến xe đò, 6 chuyến tàu hỏa và 3 chuyến máy bay. Hỏi bạn An có mấy cách để đến thành phố Hồ Chí MInh từ Hà Nội.

Bài giải

Ta có:

10 chuyến xe đò   có 10 cách chọn xe đò.

6 chuyến tàu hỏa   có 6 cách chọn tàu hỏa.

3 chuyến máy bay có 3 cách chọn máy bay

Vậy bạn An có tất cả: 10+6+3 =19 cách để đi từ Hà Nội đến Thành phố Hồ Chí Minh

Kết luận: Giả sử công việc A có thể được thực hiện theo 1 trong k phương án \( A_1,A_2,…,A_k \) . Mỗi phương án \( A_i \) có \( n_i \) cách thực hiện \( i\in \left \{ 1,2,3,…,k \right \}\). Khi đó công việc A có thể được thực hiện bởi \( n_1+n_2+n_3+…+n_k=\sum_{i=1}^{k}{n_i} \) cách.

Quy tắc nhân

Ví dụ 2: An muốn qua nhà Bình để rủ Bình qua nhà Cường học nhóm. Biết rằng từ nhà An có 4 con đường để qua nhà Bình, từ nhà Bình có 3 con đường để qua nhà Cương. Hỏi có bao nhiêu cách chọn đường đi đến nhà Cường?

Bài giải

Ta có:

Từ nhà An có 4 con đường để qua nhà Bình có 4 cách chọn đường qua nhà Bình.

Từ nhà Bình có 3 con đường để qua nhà Cường  có 3 cách chọn đường qua nhà Cường.

Vậy số cách di chuyển từ nhà An qua Cường là: 4.3=12 cách

Kết luận: Giả sử công việc A bao gồm k công đoạn. Mỗi công đoạn \( A_i \) có \( n_i \) cách thực hiện \( i\in \left \{ 1,2,3,…,k \right \}\). Khi đó công việc A có thể được thực hiện bởi \( n_1.n_2.n_3…n_k=\prod_{i=1}^{k}{n_i} \) cách.

Quy tắc cộng mở rộng

     Trong nhiều bài toán tổ hợp, chúng ta phải tính số phần tử của hợp hai tập hợp hữu hạn A và B có giao khác tập hợp rỗng . Khi này, nếu cộng số phần tử của A và B thì số phần tử của \( A\cap B \) sẽ được tính hai lần nên ở kết quả phải bớt đi số phần tử của \( A\cap B \). Ta có quy tắc cộng mở rộng sau đây: Cho hai tập hợp hữu hạn bất kì A và B. Khi đó số phần tử của \( A\cup B \) bằng số phần tử của A cộng với số phần tử của B rồi trừ đi số phần tử của \( A\cap B \).

\( \left |A\cup B \right |=\left |A \right |+\left |B \right |-\left |A\cap B \right | \)

Ví dụ 3: Lớp 11A có 10 bạn giỏi toán, 15 bạn giỏi văn, 5 bạn giỏi cả hai môn và 15 bạn không giỏi cả toán lẫn văn. Hỏi lớp 11A có bao nhiêu học sinh?

Bài giải

Gọi A là tập hợp các học sinh giỏi toán, B là tập hợp các học sinh giỏi văn, khi đó \( A \cup B \) là tập hợp các học sinh giỏi toán hoặc văn

\( \left |A\cup B \right |=\left |A \right |+\left |B \right |-\left |A\cap B \right |=10+15-5=20 \)  bạn

Vậy số học sinh lớp 11A là 20+15=35 bạn