Bài 3: Giá trị lớn nhất - giá trị nhỏ nhất của hàm số

Định nghĩa

Giả sử hàm số xác định trên $\mathfrak{D} \subset \mathbb{R}$

a) Nếu tồn tại một điểm $x_{0}\in \mathfrak{D}$ sao cho $f(x) \leqslant f(x_{0}), \forall x \in \mathfrak{D}$ thì số $M=f(x_{0})$ được gọi là GTLN của hàm số trên $\mathfrak{D}$

Kí hiệu: $M=\displaystyle \max_{x \in \mathfrak{D}}f(x)$

b) Nếu tồn tại một điểm $x_{0}\in \mathfrak{D}$ sao cho $f(x) \geqslant f(x_{0}) , \forall x \in \mathfrak{D}$ thì số $m=f(x_{0})$ được gọi là GTNN của hàm số trên $\mathfrak{D}$

Kí hiệu: $M=\displaystyle \min_{x \in \mathfrak{D}}f(x)$

Nói cách khác, với hàm số xác định trên D thì

Ví dụ 1: Cho hàm số y=f(x) liên tục và xác định trên đoạn [-2;3]. Khi này, GTLN và GTNN của hàm số được thể hiện qua hình vẽ sau

Cần lưu ý rằng nếu hàm số trên liên tục và xác định trên [-2;3) thì sẽ không tồn tại GTLN vì khi này $b \notin \mathfrak{D}$

Phương pháp tìm GTLN, GTNN

Phương pháp thường dùng đề tìm GTLN và GTNN của hàm số là lập bảng biến thiên của hàm số đó

Ví dụ 2: Tìm GTLN và GTNN của hàm số $y=x+\frac{1}{x-1}$ trên khoảng $(1;+\infty)$

Bài giải

Bảng biến thiên:

Vậy $\displaystyle \min_{(1; +\infty)}f=3$ , không tồn tại GTLN

Trường hợp f(x) liên tục trên một đoạn

Người ta chứng minh được rằng mọi hàm số liên tục trên một đoạn đều có GTLN và GTNN trên đoạn đó.

Chú ý: Khi hàm số không có điều kiện hàm số liên tục trên đoạn đó thì kết luận không còn đúng nữa, chẳng hạn hàm số $f(x)=\left\{\begin{matrix} \frac{1}{x}, (0<x<1)\\ 2, (x=0 \vee x=1) \end{matrix}\right.$

không có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn [0;1]

Quy tắc tìm GTLN, GTNN, của hàm số trên đoạn [a;b]:

Tìm các điểm x_i (i=1,2,…) mà tại đó f'(x)=0 hay f'(x) không xác định
Tính các giá trị f(x_i) (i=1,2…), f(a), f(b).
Số lớn nhất trong các giá trị trên là GTLN của hàm số trên đoạn [a;b]. Số nhỏ nhất trong các giá trị trên là GTNN của hàm số trên đoạn [a;b]

Nhận xét:

Nếu f(x) đồng biến trên [a;b] thì $\displaystyle \min_{[a; b]}f=f(a)$ và $\displaystyle \max_{[a; b]}f=f(b)$
Nếu f(x) nghịch biến trên [a;b] thì $\displaystyle \min_{[a; b]}f=f(b)$ và $\displaystyle \max_{[a; b]}f=f(a)$

Ví dụ 3: Tìm GTLN và GTNN của hàm số $f(x)=x^{3}-3x+3$ trên đoạn [0;2].

Bài giải

$f(x)$ liên tục và xác định trên $[0;2]$

$f'(x)=3x^{2}-3$

$f'(x)=0\\ \Leftrightarrow 3x^{2}-3=0\\ \Leftrightarrow \begin{bmatrix} x=1\ (n)\\ x=-1\ (l) \end{matrix}$

$f(1)=1;f(0)=3;f(2)=5$

Vậy $\displaystyle \min_{[0; 2]}f=1 \Leftrightarrow x=1$ ; $\displaystyle \max_{[0; 2]}f=5 \Leftrightarrow x=2$

Phương pháp đổi biến

Đặt $t=t(x)$ , viết lại hàm số $y=f(x)=g(t)$

Gọi $T$ là miền giá trị của hàm số $t(x)$ với $x \in X$ . Khi đó: $\displaystyle \min_{x \in X}f(x)=\min_{t \in T}g(t)$ , $\displaystyle \max_{x \in X}f(x)=\max_{t \in T}g(t)$

Ví dụ 4: Tìm GTLN và GTNN của hàm số $f(x)=\sin^{2}x-sinx-3$ trên $[\frac{\pi}{6};\frac{5\pi}{6}]$

Bài giải

Đặt $t=\sin(x)$

$x \in [\frac{\pi}{6};\frac{5\pi}{6}]\\\Rightarrow t \in [-\frac{1}{2};1]$

Khi đó, hàm số trở thành: $g(t)=t^{2}-t-3$ , $t \in [-\frac{1}{2};1]$

$g'(t)=2t-1$

$g'(t)=0 \Leftrightarrow t=\frac{1}{2}$ (nhận)

$g(\frac{-1}{2})=-\frac{9}{4}$

$g(\frac{1}{2})=-\frac{13}{4}$

$g(1)=-3$

Vậy $\displaystyle \min_{[\frac{\pi}{6};\frac{5\pi}{6}]}f(x)=\min_{[-\frac{1}{2};1]}g(t)=-\frac{13}{4}$ và $\displaystyle \max_{[\frac{\pi}{6};\frac{5\pi}{6}]}f(x)=\max_{[-\frac{1}{2};1]}g(t)=-\frac{9}{4}$

Ứng dụng vào tìm thể tích, diện tích…

Ví dụ 5: Ông A dự định sử dụng 6,5m² kính để làm một bể cá có dạng hình hộp chữ nhật không nắp, chiều dài gấp đôi chiều rộng (các mối ghép có kích thước không đáng kể). Bể cá có dung tích bằng bao nhiêu? (THPTQG2018-Câu 31-Mã đề 101)

$\\A. 2,26m^3\\B. 1,61m^3\\C. 1,33m^3\\D. 1,50m^3$