Định nghĩa

Giả sử hàm số f xác định trên \mathfrak{D} \subset \mathbb{R}

a) Nếu tồn tại một điểm x_{0}\in \mathfrak{D} sao cho  f(x) \leqslant f(x_{0}), \forall x \in \mathfrak{D} thì số M=f(x_{0}) được gọi là GTLN của hàm số trên \mathfrak{D}

Kí hiệu: M=\displaystyle \max_{x \in \mathfrak{D}}f(x)

b) Nếu tồn tại một điểm x_{0}\in \mathfrak{D} sao cho  f(x) \geqslant f(x_{0}) , \forall x \in \mathfrak{D} thì số m=f(x_{0}) được gọi là GTNN của hàm số trên \mathfrak{D}

Kí hiệu: M=\displaystyle \min_{x \in \mathfrak{D}}f(x)

Nói cách khác, với hàm số y=f(x) xác định trên D thì

Ví dụ 1: Cho hàm số y=f(x) liên tục và xác định trên đoạn [-2;3]. Khi này, GTLN và GTNN của hàm số được thể hiện qua hình vẽ sau

Cần lưu ý rằng nếu hàm số trên liên tục và xác định trên [-2;3) thì sẽ không tồn tại GTLN vì khi này b \notin \mathfrak{D}

Phương pháp tìm GTLN, GTNN

Phương pháp thường dùng đề tìm GTLN và GTNN của hàm số là lập bảng biến thiên của hàm số đó

Ví dụ 2: Tìm GTLN và GTNN của hàm số y=x+\frac{1}{x-1} trên khoảng (1;+\infty)

Bài giải

Bảng biến thiên:

Vậy \displaystyle \min_{(1; +\infty)}f=3, không tồn tại GTLN

Trường hợp f(x) liên tục trên một đoạn

Người ta chứng minh được rằng mọi hàm số liên tục trên một đoạn đều có GTLN và GTNN trên đoạn đó.

Chú ý: Khi hàm số không có điều kiện hàm số liên tục trên đoạn đó thì kết luận không còn đúng nữa, chẳng hạn hàm số f(x)=\left\{\begin{matrix} \frac{1}{x}, (0<x<1)\\ 2, (x=0 \vee x=1) \end{matrix}\right.

không có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn [0;1]

Quy tắc tìm GTLN, GTNN, của hàm số trên đoạn [a;b]:

  1. Tìm các điểm xi (i=1,2,…) mà tại đó f'(x)=0 hay f'(x) không xác định
  2. Tính các giá trị f(xi) (i=1,2…), f(a), f(b).
  3. Số lớn nhất trong các giá trị trên là GTLN của hàm số trên đoạn [a;b]. Số nhỏ nhất trong các giá trị trên là GTNN của hàm số trên đoạn [a;b]

Nhận xét:

  • Nếu f(x) đồng biến trên [a;b] thì \displaystyle \min_{[a; b]}f=f(a) và \displaystyle \max_{[a; b]}f=f(b)
  • Nếu f(x) nghịch biến trên [a;b] thì \displaystyle \min_{[a; b]}f=f(b)\displaystyle \max_{[a; b]}f=f(a)

Ví dụ 3: Tìm GTLN và GTNN của hàm số f(x)=x^{3}-3x+3 trên đoạn [0;2].

Bài giải

f(x) liên tục và xác định trên [0;2]

f'(x)=3x^{2}-3

f'(x)=0\\ \Leftrightarrow 3x^{2}-3=0\\ \Leftrightarrow \begin{bmatrix} x=1\ (n)\\ x=-1\ (l) \end{matrix}

f(1)=1;f(0)=3;f(2)=5

Vậy \displaystyle \min_{[0; 2]}f=1 \Leftrightarrow x=1; \displaystyle \max_{[0; 2]}f=5 \Leftrightarrow x=2

 

Phương pháp đổi biến

Đặt t=t(x), viết lại hàm số y=f(x)=g(t)

Gọi Tmiền giá trị của hàm số t(x) với x \in X. Khi đó: \displaystyle \min_{x \in X}f(x)=\min_{t \in T}g(t), \displaystyle \max_{x \in X}f(x)=\max_{t \in T}g(t)

Ví dụ 4: Tìm GTLN và GTNN của hàm số f(x)=\sin^{2}x-sinx-3 trên [\frac{\pi}{6};\frac{5\pi}{6}]

Bài giải

Đặt t=\sin(x)

x \in [\frac{\pi}{6};\frac{5\pi}{6}]\\\Rightarrow t \in [-\frac{1}{2};1]

Khi đó, hàm số trở thành: g(t)=t^{2}-t-3, t \in [-\frac{1}{2};1]

g'(t)=2t-1

g'(t)=0 \Leftrightarrow t=\frac{1}{2} (nhận)

g(\frac{-1}{2})=-\frac{9}{4}

g(\frac{1}{2})=-\frac{13}{4}

g(1)=-3

Vậy \displaystyle \min_{[\frac{\pi}{6};\frac{5\pi}{6}]}f(x)=\min_{[-\frac{1}{2};1]}g(t)=-\frac{13}{4} và  \displaystyle \max_{[\frac{\pi}{6};\frac{5\pi}{6}]}f(x)=\max_{[-\frac{1}{2};1]}g(t)=-\frac{9}{4}

 

Ứng dụng vào tìm thể tích, diện tích…

Ví dụ 5: Ông A dự định sử dụng 6,5m2 kính để làm một bể cá có dạng hình hộp chữ nhật không nắp, chiều dài gấp đôi chiều rộng (các mối ghép có kích thước không đáng kể). Bể cá có dung tích bằng bao nhiêu? (THPTQG2018-Câu 31-Mã đề 101)

\\A. 2,26m^3\\B. 1,61m^3\\C. 1,33m^3\\D. 1,50m^3

Bài giải

Gọi chiều dài, rộng, cao của bể lần lượt là 2x,x,y

Diện tích bể cá là: 2x.x+2xy+2.2xy=6,5

\Rightarrow xy=\frac{6,5-2x^{2}}{6}

Thể tích bể cá là V=2x.x.y=\frac{13x-4x^{3}}{6}

V'=\frac{-12x^{2}+13}{6}\\ V'=0\Leftrightarrow x=\frac{\sqrt{39}}{6}(x>0)

Bảng biến thiên:

Vậy maxV=\frac{13\sqrt{39}}{54}\approx 1,50\ (m^{3})

Chọn D

 

Bài tập

  1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y=\frac{3x-1}{x-3} trên đoạn [0;2]
  2. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y=\sqrt{x^2-2x+5} trên [-1;3]
  3. Tìm GTLN và GTNN của hàm số y=\frac{\sin{x}-\cos{x}}{\sin{x}+2\cos{x}+3}
  4. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y=2\cos^2{x}+x trên đoạn [0;\frac{\pi}{2}]
  5. Cho hàm số y=x^3-3x^2+m^2 Tìm tham số m sao cho \displaystyle \min_{[-1;1]}y=-3m
  6. Cho hàm số y=x^3+3m^2x+6. Tìm m sao cho \displaystyle \max_{[0;3]}y=42
  7. Tìm tham số m để hàm số y=\frac{mx-2}{x+m} có \displaystyle \max_{[0;4]}y=m-1
  8. Tìm tham số m để hàm số y=\frac{mx-5m}{x-m} có \max_{[1;2]}y=6
  9. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của hàm số y=\frac{x^2+2x+3}{x^2+2}
  10. Tìm GTLN và GTNN (nếu có) của hàm số y=x+\frac{1}{x}+2 trên (0;+\infty)
  11. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y=x^2+\frac{2}{x} trên (0;+\infty)
  12. Cho x,y\geq 0 thỏa mãn x+y=2. Tìm GTLN và GTNN củaP =\frac{1}{3}x^3+x^2+y^2-x
  13. Một đoàn tàu chuyển động thẳng khởi hành từ một nhà ga. Quãng đường s (mét) đi được của đoàn tàu là một hàm số theo thời gian t (phút), hàm số đó là s=6t^2-t^3. Thời điểm t (giây) mà tại đó vận tốc v (m/s) của chuyển động đạt giá trị lớn nhất là?
  14. Từ một miếng tôn hình bán nguyệt có bán kính R =3, người ta muốn cắt ra một hình chữ nhật (xem hình) có diện tích lớn nhất. Tìm diện tích lớn nhất có thể có của miếng tôn hình chữ nhật.

 

Người đóng góp
Comments to: Bài 3: Giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất của hàm số