Bài 2: Hàm số lũy thừa

Khái niệm

Hàm số lũy thừa có dạng: $\large y=x^\alpha$ , trong đó $\large \alpha$ là một hằng số tùy ý.

Tập xác định:

Số mũ lũy thừa	Tập xác đinh
$\alpha$ nguyên dương	$\mathfrak{D}=\mathbb{R}$
$\alpha$ nguyên âm hoặc $\alpha=0$	$\mathfrak{D}=\mathbb{R} \setminus \left \{0}{ \right \}$
$\alpha$ không nguyên	$\mathfrak{D}=(0;+\infty)$

Hàm số lũy thừa liên tục trên tập xác định của nó.

Lưu ý: Theo định nghĩa, đẳng thức $\sqrt[n]{x}=x^\frac{1}{n}$ chỉ xảy ra nếu x>0. Do đó hàm số $y=\sqrt[n]{x}$ không đồng nhất với hàm số $y=x^\frac{1}{n}\ \ (n \in \mathbb{N^*})$

Ví dụ 1:

Hàm số $y=\sqrt[3]{x}$ xác định với $\forall x \in \mathbb{R}$ trong khi hàm số $y=x^\frac{1}{3}$ chỉ xác định $\forall x>0$

Đạo hàm của hàm số lũy thừa

Hàm số lũy thừa $y=x^\alpha\ \ (\alpha \in \mathbb{R})$ có đạo hàm $\forall x>0$ và

$(x^\alpha)'=\alpha.x^{\alpha-1}$

Nếu u=u(x) là hàm số có đạo hàm và u(x)>0 trên K thì hàm số $y=u^\alpha(x)$ cũng có đạo hàm trên K và

$\left ( u^\alpha(x) \right )'=\alpha u^{\alpha-1}(x).u'(x)$

Ví dụ 2: Tính đạo hàm của hàm số $y=(x^2+x+2)^\frac{1}{3}$

Bài giải

Vì $x^2+x+2 >0$ và có đạo hàm trên $\mathbb{R}$ nên

$y'=\frac{1}{3}.(x^2+x+2)'.(x^2+x+2)^\frac{-2}{3}$

$=\frac{1}{3}.(2x+1).(x^2+x+2)^\frac{-2}{3}$

Mở rộng: Áp dụng định lí, ta có:

$(\sqrt[n]{x})'=\frac{1}{n\sqrt[n]{x^{n-1}}}$ ( $\forall x>0$ với n chẵn; $\forall x \neq 0$ với n lẻ)

Nếu u=u(x) là hàm số có đạo hàm trên K và $u(x)>0, \forall x \in K$ khi n chẵn hoặc $u(x)\neq 0, \forall x \in K$ khi n lẻ thì hàm số $y=\sqrt[n]{u(x)}$ cũng có đạo hàm trên K và

$\left (\sqrt[n]{u(x)} \right )'=\frac{u'(x)}{n\sqrt[n]{u^{n-1}(x)}}$

Ví dụ 3: Tính đạo hàm của hàm số $y=\sqrt[3]{\sin{2x}}$

Bài giải

$y'=\frac{(\sin{2x})'}{3.\sqrt[3]{\sin^2{2x}}}=\frac{2\cos{2x}}{3.\sqrt[3]{\sin^2{2x}}}$

Sự biến thiên và đồ thị của hàm số lũy thừa

Xét hàm số lũy thừa $y=x^\alpha$ với $\alpha \neq 0$ và với tập xác định là $(0;+\infty)$ . Từ công thức $y'=(x^\alpha)'=\alpha.x^{\alpha-1}$ , ta suy ra hàm số $y=x^\alpha$ đồng biến trên khoảng $(0;+\infty)$ nếu $\alpha>0$ và nghịch biến trên khoảng $(0;+\infty)$ nếu $\alpha<0$