Bài 4: Cấp số nhân

Định nghĩa

Cấp số nhân là một dãy số (hữu hạn hay vô hạn) mà trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng tích của số hạng đứng ngay trước nó và một số q không đổi, tức là

$(u_n)$ là cấp số nhân $\Leftrightarrow \forall n\geq 2, u_n=u_{n-1}.q$ .

Số $q$ được gọi là công bội của cấp số nhân.

Ví dụ 1: Chứng minh dãy số $(u_n)=(-1)^n.5^{2n}$ là cấp số nhân và tìm công bội của dãy số.

Bài giải

$(u_n)=(-1)^n.5^{2n}=(-1)^n.25^n=(-25)^n$

Ta có: $\frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{(-25)^{n+1}}{(-25)^n}=-25$

Vậy $(u_n)$ là một cấp số nhân có công bội $q=-25$

Tính chất

Nếu $(u_n)$ là một cấp số nhân thì kể từ số hạng thứ hai, bình phương của mỗi số hạng (trừ số hạng cuối đối với cấp số cộng hữu hạn) bằng tích của hai số hạng đứng kế nó trong dãy, tức là:

$u_k^2=u_{k-1}.u_{k+1}\ (k\geq 2)$

Chứng minh:

Ta có: $\left\{\begin{matrix} u_{k+1}=u_{k}.d\\ u_{k-1}=\frac{u_k}{d} \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow u_{k+1}.u_{k-1}=u_k^2$ (đpcm)

Ví dụ 2: Cho ba số $\frac{2}{b-a};\ \frac{1}{b};\ \frac{2}{b-c}$ theo thứ tự lập thành một cấp số cộng. Chứng minh $a, b, c$ lần lượt lập thành một cấp số nhân

Bài giải

Theo đề bài, ta có:

$\\\frac{1}{b}=\frac{1}{2}(\frac{2}{b-a}+\frac{2}{b-c}) \\\Leftrightarrow \frac{1}{b}=\frac{1}{b-a}+\frac{1}{b-c} \\\Leftrightarrow \frac{1}{b}=\frac{2b-a-c}{(b-c)(b-a)} \\\Leftrightarrow b^2-ab-bc+ac=2b^2-ab-bc \\\Leftrightarrow b^2=ac$

Vậy $a, b, c$ theo thứ tự lập thành một cấp số nhân (đpcm)

Số hạng tổng quát

Nếu một cấp số nhân có số hạng đầu $u_1$ và công bội $q\neq 0$ thì số hạng tổng quát $u_n$ của nó được xác định bởi công thức:

$u_n=u_1.q^{n-1}, n\geq 2$

Chứng minh:

Với $n=2$ , ta có $u_2=u_1.q \Rightarrow$ đúng với n=2

Giả sử công thức đúng với $n=k\ (k \geq 2): u_k=u_1.q^{k-1}$ .

Ta chứng minh điều này cũng đúng với k+1, tức là $u_{k+1}=u_1.q^k$

Thật vậy, ta có $u_{k+1}=u_k.q=u_1.q^{k-1}.q=u_1.q^k$

Vậy, theo phương pháp chứng minh quy nạp, ta có điều phải chứng minh.

Ví dụ 3: Một cấp số nhân có 6 số hạng, biết số hạng đầu là 1458, số hạng cuối là 6. Tìm công bội của cấp số nhân đó.

Bài giải

Ta có: $u_6=u_1.q^5$

$\\\Rightarrow q^5=\frac{u_6}{u_1}=\frac{6}{1458}=\frac{1}{243}\\\Rightarrow q=\frac{1}{3}$

Vậy cấp số nhân có công bội $q=\frac{1}{3}$

Tổng của n số hạng đầu tiên của cấp nhân

Giả sử $(u_n)$ là một cấp số nhân có công bội $q$ .

Gọi $S_n=\sum_{k=1}^n=u_1+u_2+...+u_n$ ( $S_n$ là tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân), ta có:

$S_n=\left\{\begin{matrix} \frac{u_1(1-q^n)}{1-q},\ q\neq 1\\ n.u_1,\ q=1 \end{matrix}\right.$