Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác
| Dạng (với \( a\neq0,\ a,b,c\in\mathbb{R} \)) | Cách giải |
| \( a\sin^{2}u+b\sin{u}+c=0 \) hoặc \( a\cos^{2}u+b\cos{u}+c=0\) |
Đặt \( t=\sin{u} \) (hoặc \( t=\cos{u}\)).Điều kiện: \( |t|\leq 1\) Khi đó phương trình trở thành: \( at^{2}+bt+c=0\) |
| \( a\tan^{2}u+b\tan{u}+c=0\) hoặc \( a\cot^{2}u+b\cot{u}+c=0 \) |
Đặt \(t=\tan{u} \) (hoặc \( t=\cot{u}\)). Khi đó phương trình trở thành: \( at^{2}+bt+c=0\) |
Ví dụ 1: Giải phương trình \( \cos^{2}x-(1+\sqrt{2})\cos{x}+\sqrt{2}=0 \)(*)
Bài giải
Đặt \( t=\cos{x}\), điều kiện: \( |t|\leq 1 \)
Khi đó, \( (*)\Leftrightarrow t^{2}-(1+\sqrt{2})t+\sqrt{2}=0\) \( \Leftrightarrow t = 1\ (n), t = \sqrt{2}\ (l) \) \( \Leftrightarrow \cos{x}=1\) \( \Leftrightarrow x=k2\pi\ (k \in\mathbb{Z}) \)
Vậy \( S=\{k2\pi|k\in\mathbb{Z}\} \)
Ví dụ 2: Giải phương trình \( 2\sin^{2}{2x}+\sqrt{3}\cos{2x}+1=0 \)
Bài giải
\( 2\sin^{2}{2x}+\sqrt{3}\cos{2x}+1=0 \) \( \Leftrightarrow 2(1-cos^{2}{2x})+\sqrt{3}\cos{2x}+1=0 \) \( \Leftrightarrow -2cos^{2}{2x}+\sqrt{3}\cos{2x}+3=0\ (*) \)Đặt \( t=\cos(2x) \), điều kiện: \( |t|\leq 1 \) \( (*)\Leftrightarrow -2t^{2}+\sqrt{3}t+3=0 \) \( \Leftrightarrow t=\sqrt{3}\ (l), t=-\sqrt{3}/2\ (n) \) \( \Leftrightarrow \cos(2x)=-\frac{\sqrt{3}}{2} \) \( \Leftrightarrow 2x=\pm \frac{5\pi}{6}+k2\pi\) \( \Leftrightarrow x=\pm \frac{5\pi}{12}+k\pi,\ (k\in\mathbb{Z}) \)
Vậy \( S=\{\pm \frac{5\pi}{12}+k\pi|k\in\mathbb{Z}\} \)
Phương trình bậc nhất đối với sinu và cosu
Phương trình có dạng: \( a\sin{u}+b\cos{u}=c\ (*) \) , với u là biểu thức theo x, trong đó a,b và c là các số đã cho và \( a,\ b\neq 0\)
Cách giải: Chia hai vế phương trình (*) cho \( \sqrt{a^{2}+b^{2}} \) \( (*)\Leftrightarrow \frac{a}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\sin{u}+\frac{b}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\cos{u}=\frac{c}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} \) [/latex] \Leftrightarrow \sin{u}\cos{\alpha}+\cos{u}\sin{\alpha}=\frac{c}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} [/latex]
(với \( \cos{\alpha}=\frac{a}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}},\ \sin{\alpha}=\frac{b}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} \))
\( \Leftrightarrow \sin(u+\alpha)=\frac{c}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} \)Phương trình có nghiệm \( \Leftrightarrow \begin{vmatrix} \frac{c}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} \end{vmatrix}\leq 1\ \Leftrightarrow c^{2}\leq a^{2}+b^{2} \)
Ngoài ra chúng ta còn có thể biến đối phương trình về dạng: \( \cos(u=\alpha)=\frac{c}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} \), với \( \sin{\alpha}=\frac{a}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}},\ \cos{\alpha}=\frac{b}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} \)
Như vậy, điều kiện để phương trình (*) có nghiệm là \( \mathbf{a^{2}+b^{2}\geq c^{2}} \)
Ví dụ 3: Giải phương trình \( \sqrt{3}\sin{x}-\cos{x}=1 \) (*)
Bài giải
\( (*)\Leftrightarrow \frac{1}{2}\cos{x}-\frac{\sqrt{3}}{2}\sin{x}=-\frac{1}{2} \)(chia hai vế cho -2) \(\Leftrightarrow \cos{\frac{\pi}{3}}.\cos{x}-\sin\frac{\pi}{3}\sin{x}=-\frac{1}{2} \) \( \Leftrightarrow \cos{(x+\frac{\pi}{3})}=\cos{\frac{2\pi}{3}}\) \(\Leftrightarrow x+\frac{\pi}{3}=\frac{2\pi}{3}+k2\pi\ \vee\ x+\frac{\pi}{3}=-\frac{2\pi}{3}+k2\pi \) \(\Leftrightarrow x=\frac{\pi}{3}+k2\pi\ \vee\ x=-\pi+k2\pi,\ (k\in\mathbb{Z}) \)Vậy \( S=\{\frac{\pi}{3}+k2\pi;-\pi+k2\pi|k \in \mathbb{Z}\} \)
Ví dụ 4: Định m để phương trình \( \sqrt{5}\sin{2x}+2\cos{2x}=3m\ (*) \) có nghiệm
Bài giải
(*) có nghiệm
\( \Leftrightarrow (\sqrt{5})^{2}+2^{2}\geq (3m)^{2} \) \( \Leftrightarrow 9m^{2}\leq 9 \) \( \Leftrightarrow m^{2}\leq \) \( \Leftrightarrow -1\leq m\leq1 \)Vậy, phương trình có nghiệm khi \( -1\leq m\leq1 \)
Phương trình thuần nhất bậc hai với sinu và cosu (phương trình đẳng cấp)
Dạng tổng quát: \( a\sin^{2}x+b\sin{x}\cos{x}+c\cos^{2}x=d\ (*)\ \forall a,b,c,d\in\mathbb{R} \)
Dấu hiệu nhận dạng: Đồng bậc hoặc lệch nhau hai bậc của hàm sin và hàm cos (tan và cot được xem là hàm bậc 0)
Phương pháp giải:
- Kiểm tra \( x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\ (k\in\mathbb{Z})\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \cos{x}=0\\ \sin^{2}x=1 \end{matrix}\right. \) có phải là nghiệm hay không?
- Khi \( x\neq\frac{\pi}{2}+k\pi\ (k\in \mathbb{Z})\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \cos{x}\neq0\\ \sin^{2}x\neq1 \end{matrix}\right. \), chia hai vế (*) cho \( \cos^{2}x \)
- Đặt \( t=\tan{x} \) để đưa về phương trình bậc 2 theo ẩn \( t \Rightarrow x \)
Đối với phương trình đẳng cấp bậc 3 và bậc 4 ta giải tương tự.
Ví dụ 5: Giải phương trình \( 4\sin^{3}x+3(\cos^{3}x-\sin{x})=\sin^{2}x\cos{x} \)
Bài giải
\( 4\sin^{3}{x}+3(\cos^{3}x-\sin{x})=\sin^{2}x\cos{x}\\ \Leftrightarrow 4\sin^{3}{x} -\sin^{2}x\cos{x}-3\sin{x}+3\cos^{3}x=0\ (*)\\ \)Xét \( \cos{x}=0\Leftrightarrow x=\frac{\pi}{2}+k\pi \),
\( (*)\Leftrightarrow 4sin^{3}x-3\sin{x}=0 \) \( \Leftrightarrow \sin{3x}=0\) \( \Leftrightarrow 3x=k\pi \) \( \Leftrightarrow x=\frac{k\pi}{3}, (k\in \mathbb{Z}) \) (vô lí)Xét \( \cos{x}\neq0\Leftrightarrow x\neq\frac{\pi}{2}+l\pi,\ (l\in \mathbb{Z}) \) \( (*)\Leftrightarrow 4\frac{\sin^{3}x}{\cos^{3}x}-\frac{\sin^{2}{x}\cos{x}}{\cos^{3}x}-3\frac{sin{x}}{\cos^{3}x}+3\frac{\cos^{3}x}{\cos^{3}x}=0 \) \( \Leftrightarrow 4\frac{\sin^{3}x}{\cos^{3}x}-\frac{\sin^{2}{x}}{\cos^{2}x}-3\frac{sin{x}}{\cos{x}}\frac{1}{\cos^{2}x}+3\frac{\cos^{3}x}{\cos^{3}x}=0 \) \(\Leftrightarrow 4\tan^{3}x-\tan^{2}x-3\tan{x}(1+\tan^{2}x)+3=0\) \( \Leftrightarrow \tan^{3}x-\tan^{2}{x}-3\tan{x}+3=0\) \( \Leftrightarrow\tan{x}=-\sqrt{3}, \tan{x}=1, \tan{x}=\sqrt{3} \) \( \Leftrightarrow x=-\frac{\pi}{3}+k\pi\ \vee \ x=\frac{\pi}{4}+k\pi\ \vee \ x=\frac{\pi}{3}+k\pi\ (k\in \mathbb{Z}) \)
Vậy S=\( \{-\frac{\pi}{3}+k\pi;\frac{\pi}{4}+k\pi;\frac{\pi}{3}+k\pi\ |(k\in \mathbb{Z})\}\)
Phương trình lượng giác dạng đối xứng
Dạng 1: \( a(\sin{x}\pm\cos{x})+b\sin{x}\cos{x}+c=0\)
Đặt \( t=\sin{x}+\cos{x}, |t|\leq \sqrt{2} \) \( \\\Rightarrow t^{2}=\sin^{2}x+\cos^{2}x+2\sin{x}\cos{x}=1+\sin{2x}\\\Rightarrow \sin{2x}=t^{2}-1 \)
Ví dụ 6: Giải phương trình \( \sin{2x}+(2-\sqrt{2})(\sin{x}+\cos{x})+1-2\sqrt{2}=0 \)
Bài giải
Đặt \( t=\sin{x}+\cos{x}, |t|\leq \sqrt{2} \) \( (*)\Leftrightarrow t^{2}-1+(2-\sqrt{2})t+1-2\sqrt{2}=0 \) \( \Leftrightarrow t^{2}+(2-\sqrt{2})t-2\sqrt{2}=0 \) \( \Leftrightarrow t=-2\ (l), t=\sqrt{2}\ (n) \) \(\Leftrightarrow \sin{x}+\cos{x}=\sqrt{2} \) \( \Leftrightarrow \sqrt{2}\sin{(x+\frac{\pi}{4})}=\sqrt{2} \) \(\Leftrightarrow \sin{(x+\frac{\pi}{4})}=1 \) \( \Leftrightarrow x+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2}+k2\pi \) \( \Leftrightarrow x=\frac{\pi}{4}+k2\pi\ (k\in \mathbb{Z}) \)
Vậy \(S=\{\frac{\pi}{4}+k2\pi|k\in\mathbb{Z}\} \)
Dạng 2: \( a(tan^{2}x+\cot^{2}x)+b(\tan{x}\pm\cot{x})+c=0 \)
Đặt \( t=\tan{x}\pm\cot{x}\ (|t|\geq 2)\Rightarrow \tan^{2}x+\cot^{2}x=t^{2}\mp 2\)
Ta có:
\( \tan{x}+\cot{x}\\ \) \( =\frac{\sin{x}}{\cos{x}}+\frac{\cos{x}}{\sin{x}}\\ \) \( =\frac{\sin^{2}{x}}{\cos{x}\sin{x}}+\frac{\cos^{2}{x}}{\sin{x}\cos{x}}\\ \) \(=\frac{\sin^{2}{x}+\cos^{2}{x}}{\cos{x}\sin{x}} \\ \) \( =\frac{2(\sin^{2}{x}+\cos^{2}{x})}{2\cos{x}\sin{x}}=\frac{2}{\sin{2x}} \)Vậy: \( \sin{2x}=\frac{2}{t} \)
Ví dụ 7: Giải phương trình \( 2\tan^{2}x+2\cot^{2}x-(4-\sqrt{2})(\tan{x}+\cot{x})+4+2\sqrt{2}=0 \)
Bài giải
\( 2\tan^{2}x+2\cot^{2}x-(4-\sqrt{2})(\tan{x}+\cot{x})+4+2\sqrt{2}=0 \) \( \Leftrightarrow 2(\tan^{2}x+\cot^{2}x)-(4-\sqrt{2})(\tan{x}+\cot{x})+4+2\sqrt{2}=0 \)(*)Đặt \(t=\tan{x}\pm\cot{x}\ (|t|\geq 2)\Rightarrow \tan^{2}x+\cot^{2}x=t^{2}\mp 2 \) \( (*)\Leftrightarrow 2t^{2}-4-(4-\sqrt{2})t+4+2\sqrt{2}=0 \\ \) \( \Leftrightarrow 2t^{2}-(4-\sqrt{2})t+2\sqrt{2}=0 \) \( \Leftrightarrow t=2\ (n) \vee t=\frac{\sqrt{2}}{2} \ (l) \) \( \Leftrightarrow sin{2x}=\frac{2}{2}\\\) \( \Leftrightarrow sin{2x}=1\\ \) \( \Leftrightarrow 2x=\frac{\pi}{2}+k2\pi\\ \) \( \Leftrightarrow x=\frac{\pi}{4}+k\pi\ (k\in\mathbb{Z}) \)
Vậy \( S=\{\frac{\pi}{4}+k\pi| k\in\mathbb{Z}\} \)
Một số phương trình lượng giác dạng khác
Dạng 1: m.sin2x+n.cos2x+p.sinx+q.cosx+r=0
Ta luôn viết:
\( \sin{2x}=2\sin{x}\cos{x} \) \( \cos{2x}= \cos^{2}x-\sin^{2}x\ = 2\cos^{2}x-1\ = 1-\sin^{2}x\ (3) \)Nếu thiếu sin2x, ta biến đối cos2x theo (1) và lúc này thường sẽ đưa về dạng \( A^{2}=B^{2} \)
Nếu không, ta phân tích phương trình theo (2) hoặc (3) và phân tích biểu thức thành nhân tử.
Ví dụ 8: Giải phương trình \( \cos{2x}-\cos{x}-3\sin{x}-2=0 \)
Bài giải
\( \cos{2x}-\cos{x}-3\sin{x}-2=0 \) \( \Leftrightarrow \cos^{2}x-\sin^{2}x-cos{x}-3\sin{x}-2=0 \) \( \Leftrightarrow (\cos{x}-\sin{x}) (\cos{x}+\sin{x})+\cos{x}-\sin{x}-2(\cos{x}+\sin{x})-2=0\) \( \Leftrightarrow (\cos{x}-\sin{x})(\cos{x}+\sin{x}+1)-2(\cos{x}+\sin{x}+1)=0 \) \(\Leftrightarrow (\cos{x}-\sin{x}-2)(\cos{x}+\sin{x}+1)=0\) \( \Leftrightarrow \cos{x}-\sin{x}=2\ \vee \cos{x}+\sin{x}=-1\) \( \Leftrightarrow \cos{(x+\frac{\pi}{4})}=\sqrt{2}\ (vl))\ \vee \cos{(x-\frac{\pi}{4})}=-\frac{\sqrt{2}}{2} \) \( \Leftrightarrow x-\frac{\pi}{4}=\frac{3\pi}{4}+k2\pi\ \vee\ x-\frac{\pi}{4}=\frac{-3\pi}{4}+k2\pi\\ \) \( \Leftrightarrow x=\pi+k2\pi\ \vee\ x=\frac{-\pi}{2}+k2\pi\ (k\in \mathbb{Z}) \)Vậy \( S=\{\pi+k2\pi;\frac{-\pi}{2}+k2\pi\ |k\in \mathbb{Z}\}\)
Ví dụ 9: Giải phương trình \( 2\sin{2x}-\cos{2x}=7\sin{x}+2\cos{x}-4 \)
Bài giải
\( 2\sin{2x}-\cos{2x}=7\sin{x}+2\cos{x}-4\\ \) \( \Leftrightarrow 4\sin{x}\cos{x}-(1-2\sin^{2}{x})-7\sin{x}-2\cos{x}+4=0\\ \) \( \Leftrightarrow 4\sin{x}\cos{x}+2\sin^{2}{x}-7\sin{x}-2\cos{x}+3=0\\ \) \( \Leftrightarrow \cos{x}(4\sin{x}-2)+2\sin^{2}{x}-7\sin{x}+3=0\\ \) \( \Leftrightarrow 2\cos{x}(2\sin{x}-1)+(\sin{x}-3)(2\sin{x}-1)=0\\\) \( \Leftrightarrow (2\sin{x}-1)(2\cos{x}+\sin{x}-3)=0\\\) \(\Leftrightarrow 2\sin{x}-1=0, 2\cos{x}+\sin{x}=3 \)(vô lí vì \( \Leftrightarrow \sin{x}=\frac{1}{2}\\ \) \( \Leftrightarrow x=\frac{\pi}{6}+k2\pi\ \vee\ x=\frac{5\pi}{6}+k2\pi \ (k\in\mathbb{Z})\))
\( \Leftrightarrow \sin{x}=\frac{1}{2}\\ \) \( \Leftrightarrow x=\frac{\pi}{6}+k2\pi\ \vee\ x=\frac{5\pi}{6}+k2\pi \ (k\in\mathbb{Z}) \)Vậy \(S=\{\frac{\pi}{6}+k2\pi;\frac{5\pi}{6}+k2\pi|k\in\mathbb{Z}\} \)
Dạng 2: Cung của sin và cos gấp đôi cung của tan và cot.
Phương pháp: Đặt t=tanx, khi đó:
\( \sin{2x}=2\sin{x}\cos{x}=2\frac{\sin{x}}{\cos{x}}.\cos^{2}{x}=2.\tan{x}.\frac{1}{1+\tan^{2}{x}}=\frac{2t}{1+t^{2}} \) \( \cos{2x}=2\cos^{2}{x}-1=2\frac{1}{1+\tan^{2}{x}}-1=\frac{1-tan^{2}{x}}{1+\tan^{2}{x}}=\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}\\ \) \( \tan{2x}=\frac{\sin{2x}}{\cos{2x}}=\frac{2t}{1-t^{2}}\\\) \( \cot{2x}=\frac{1-t^{2}}{2t}\)Từ đó thu được phương trình theo t, giải ra tìm t, suy ra x
Ví dụ 10: Giải phương trình \( \sin{2x}+2\tan{x}=3 \)(*)
Bài giải
Điều kiện: \( x\neq\frac{\pi}{2}+l\pi\ (l\in\mathbb{Z}) \)
Đặt t=tanx, \( (*)\Leftrightarrow \frac{2t}{1+t^{2}}+2t-3=0 \) \( \Leftrightarrow 2t+2t(1+t^{2})-3(1+t^{2})=0 \) \( \Leftrightarrow 2t^{3}-3t^{2}+4t-3=0 \) \( \Leftrightarrow t=1 \) \( \Leftrightarrow \tan{x}=1 \\\) \( \Leftrightarrow x=\frac{\pi}{4}+k\pi\ (k\in\mathbb{Z}) \)
Vậy \( S=\{\frac{\pi}{4}+k\pi |k\in\mathbb{Z}\} \)
Dạng 3: Phương trình lượng giác có cách giải đặc biệt
Tổng các số không âm: \( A^{2}+B^{2}=0\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} A=0\\ B=0 \end{matrix}\right.\)
Đối lập: A=B mà chứng minh được \( \left\{\begin{matrix} A\leq M\\ B\geq M \end{matrix}\right. \Rightarrow \left\{\begin{matrix} A=M\\ B=M \end{matrix}\right. \)
Hoặc: A+B=M+N mà chứng minh được \( \left\{\begin{matrix} A\leq M\\ B\leq N \end{matrix}\right. \Rightarrow \left\{\begin{matrix} A=M\\ B=N \end{matrix}\right. \)
Một số trường hợp đặc biệt:
\( \sin{u}\pm\sin{v}=2\Leftrightarrow \sin{u}=1, \sin{v}=\pm 1 . \) \( \sin{u}+\sin{v}=-2\Leftrightarrow \sin{u}=-1, \sin{v}=-1 \) \( \cos{u}\pm\cos{v}=2 \Leftrightarrow \cos{u}=1, \cos{v}=\pm 1 \) \( \sin{u}.\sin{v}=1 \Leftrightarrow \sin{u}=1, \sin{v}=1 \) hay \(\sin{u}=-1, \sin{v}=-1 \) \( \sin{u}.\sin{v}=-1 \Leftrightarrow \sin{u}=-1, \sin{v}=1\) hay \( \sin{u}=1, \sin{v}=-1 \) \( \cos{u}.\cos{v}=1 \Leftrightarrow \cos{u}=1, \cos{v}=1 \) hay \( \cos{u}=-1, \cos{v}=-1 \) \( \cos{u}.\cos{v}=-1 \Leftrightarrow \cos{u}=1, \cos{v}=-1 \) hay \( \cos{u}=-1, \cos{v}=1 \)
No Comments
Leave a comment Cancel