Định nghĩa mặt cầu, khối cầu

Mặt cầu

        Tập hợp các điểm trong không gian cách điểm O cố định một khoảng R không đổi được gọi là mặt cầu tâm  O bán kính R.

Kí hiệu: S(O;R)

Khối cầu

Tập hợp các điểm thuộc mặt cầu S(O;R)cùng với các điểm nằm trong mặt cầu đó được gọi là khối cầu B(O;R).

 

Vị trí tương đối giữa mặt cầu và mặt phẳng

         Cho mặt cầu S(O;R) và mặt phẳng (P), gọi d là khoảng cách từ O tới (P)H là hình chiếu của O lên (P). Khi đó:

  • Nếu d<R thì mặt phẳng (P) cắt mặt cầu S(O;R)theo giao tuyến là đường tròn nằm trên mặt phẳng (P) có tâm H và có bán kính r=\sqrt{R^2-d^2}

  • Nếu d=R thì mặt phẳng (P) và mặt cầu có một điểm chung duy nhất H. Khi đó ta nói mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu tại điểm H, hoặc còn nói mặt phẳng (P) là tiếp diện của mặt cầu tại điểm H. Điểm H gọi là tiếp điểm của (P) và mặt cầu.

  • Nếu d>R thì mặt phẳng (P) và mặt cầu S(O;R) không có điểm chung.

 

Vị trí tương đối giữa mặt cầu và đường thẳng

          Cho mặt cầu S(O;R) và đường thẳng (\Delta), gọi d là khoảng cách từ O tới (\Delta) và H là hình chiếu của O lên (\Delta). Khi đó:

  • Nếu d<R thì đường thẳng (\Delta) cắt mặt cầu S(O;R) tại 2 điểm phân biệt  

  • Nếu d=R thì đường thẳng (\Delta) và mặt cầu có một điểm chung duy nhất H. Khi đó ta nói đường thẳng (\Delta) tiếp xúc với mặt cầu tại điểm H, hoặc còn nói đường thẳng (\Delta) là tiếp tuyến của mặt cầu tại điểm H. Điểm H gọi là tiếp điểm của đường thẳng (\Delta) và mặt cầu.

  • Nếu d>R thì đường thẳng (\Delta) và mặt cầu S(O;R) không có điểm chung.

 

Định lí: Nếu điểm A nằm ngoài mặt cầu S(O;R) thì:

  1. Qua A có vô số tiếp tuyến với mặt cầu.
  2. Độ dài đoạn thẳng nối A với các tiếp điểm đều bằng nhau.
  3. Tập hợp các tiếp điểm là một đường tròn nàm trên mặt cầu.

Diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu

Mặt cầu bán kính R có diện tích là:

\LARGE S=4\pi R^2

Mặt cầu bán kính R có thể tích là:

\LARGE V=\frac{4}{3}\pi R^3

 

Mặt cầu ngoại tiếp 

Định nghĩa

           Mặt cầu đi qua mọi đỉnh của hình đa diện (H) gọi là mặt cầu ngoại tiếp đa diện (H) và hình đa diện (H)gọi là nội tiếp mặt cầu đó.

            Chú ý: Hình chóp nội tiếp một mặt cầu khi và chỉ khi đáy của nó là một đa giác nội tiếp đường tròn. Từ đó, ta nhận xét: Hình tứ diện nào cũng có mặt cầu ngoại tiếp.

 

Phương pháp tìm tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

  1. Tìm trục (\Delta) của mặt đáy hình chóp.

  2. Tìm (P) là mặt phẳng trung trực của một cạnh bên của hình chóp.

  3. Tìm giao điểm I của (P)(\Delta) và chứng minh I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho.

 

Trường hợp đặc biệt:

Trường hợp 1: Các tam giác vuông có chung cạnh huyền. Tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp chính là trung điểm cạnh huyền.

Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD\widehat{BAD}=\widehat{BCD}=90^0.Biết (SBD)\bot(ABCD)\widehat{BSD}=90^0. Xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp.

Bài giải

Ta có \widehat{BAD},\widehat{BCD},\widehat{BSD} cùng nhìn cạnh BD dưới góc 90^0.

S,A,B,C,D cùng thuộc mặt cầu đường kính BD, tâm I là trung điểm cạnhBD

Trường hợp 2: Trục (\Delta) của mặt đáy đồng phẳng với một cạnh bên của hình chóp.

      1. Gọi (Q) là mặt phẳng chứa trục (\Delta) và cạnh bên ấy. Dựng đường trung trực (d) của cạnh bên ấy.
      2. Gọi I là giao điểm của (d) và (\Delta) và chứng minh I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho.

Ví dụ 2: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD đều có cạnh bên bằng a và hợp với mặt phẳng đáy một góc 60^0. Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp chóp S.ABCD.

Bài giải

ABCD là hình chữ nhật nên tâm đường tròn ngoại tiếp là giao điểm hai đường chéo tại O. Từ O dựng trục d \perp (ABCD) tại O.

Dựng trung trực (\Delta) của đường thẳng SA.

Khi đó tâm I=(d)\cap\Delta

Xét \Delta SAO vuông tại O\widehat{SAO}=60^0

\Rightarrow SO=\frac{SA\sqrt3}{2}=\frac{a\sqrt3}{2}

\Rightarrow R=SI=\frac{2}{3}.\frac{a\sqrt3}{2}=\frac{a\sqrt3}{3}

Khi đó, thể tích khối cầu ngoại tiếp là: V=\frac{4}{3}\pi.\left ( \frac{a\sqrt3}{3} \right )^3=\frac{4\sqrt3}{27}a^3\pi

Trường hợp 3: Ta xác định được trục (\Delta) của mặt đáy và trục (d) của một mặt bên của hình chóp.

Tìm giao điểm I của (d) và (\Delta) và chứng minh I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho.

Ví dụ 3: Cho tứ diện ABCDABCBCD là các tam giác đều có cạnh bằng a và nằm trên 2 mặt phẳng vuông góc với nhau. Xác định tâm và tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện.

Bài giải

    Gọi M là trung điểm của BC

    Ta có: \Delta ABC\Delta BCD là tam giác đều \Rightarrow \left\{\begin{matrix} AM\perp BC\\ DM\perp BC \end{matrix}\right.

     Mặt khác, do có \Delta ABC\Delta BCD là các tam giác đều cạnh a và nằm trong hai mặt phẳng vuông góc với nhau \Rightarrow \widehat{AMD}=90^0

    Gọi G là tâm đường tròn ngoại tiếp \Delta ABC, H là tâm đường tròn ngoại tiếp \Delta BCD

\Rightarrow G,H đồng thời là trọng tâm của tam giác \Delta ABC\Delta BCD

    Kẻ đường vuông góc với đáy (ABC) từ G và đường vuông góc với (ABD) từ H.

    Do hai đường vuông góc này đều thuộc (DMC) nên gọi O là giao điểm hai đường này.

\Rightarrow O chính là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCDR=OD

    Dễ chứng minh: AM=\frac{a\sqrt3}{2}

\Rightarrow OH=GM=\frac{1}{3}AM=\frac{a\sqrt3}{6}

    Tương tự, ta có DM=\frac{a\sqrt3}{2}\Rightarrow HD=\frac{a\sqrt3}{3}

    Khi đó: R=OC=\sqrt{HD^2+OH^2}=\sqrt{\frac{1}{3}a^2+\frac{1}{12}a^2}=\frac{\sqrt5}{12}a

(do \Delta OHD vuông tại H)

 

 

 

Người đóng góp
Comments to: Bài 1: Mặt cầu