Định nghĩa mặt cầu, khối cầu
Mặt cầu
Tập hợp các điểm trong không gian cách điểm cố định một khoảng không đổi được gọi là mặt cầu tâm bán kính .
Kí hiệu:
Khối cầu
Tập hợp các điểm thuộc mặt cầu cùng với các điểm nằm trong mặt cầu đó được gọi là khối cầu .
Vị trí tương đối giữa mặt cầu và mặt phẳng
Cho mặt cầu và mặt phẳng , gọi là khoảng cách từ tới và là hình chiếu của lên . Khi đó:
- Nếu thì mặt phẳng cắt mặt cầu theo giao tuyến là đường tròn nằm trên mặt phẳng có tâm và có bán kính
- Nếu thì mặt phẳng và mặt cầu có một điểm chung duy nhất . Khi đó ta nói mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu tại điểm , hoặc còn nói mặt phẳng là tiếp diện của mặt cầu tại điểm . Điểm gọi là tiếp điểm của và mặt cầu.
- Nếu thì mặt phẳng và mặt cầu không có điểm chung.
Vị trí tương đối giữa mặt cầu và đường thẳng
Cho mặt cầu và đường thẳng , gọi là khoảng cách từ tới và là hình chiếu của lên . Khi đó:
- Nếu thì đường thẳng cắt mặt cầu tại 2 điểm phân biệt
- Nếu thì đường thẳng và mặt cầu có một điểm chung duy nhất . Khi đó ta nói đường thẳng tiếp xúc với mặt cầu tại điểm , hoặc còn nói đường thẳng là tiếp tuyến của mặt cầu tại điểm . Điểm gọi là tiếp điểm của đường thẳng và mặt cầu.
- Nếu thì đường thẳng và mặt cầu không có điểm chung.
Định lí: Nếu điểm A nằm ngoài mặt cầu thì:
- Qua A có vô số tiếp tuyến với mặt cầu.
- Độ dài đoạn thẳng nối A với các tiếp điểm đều bằng nhau.
- Tập hợp các tiếp điểm là một đường tròn nàm trên mặt cầu.
Diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu
Mặt cầu bán kính có diện tích là:
Mặt cầu bán kính có thể tích là:
Mặt cầu ngoại tiếp
Định nghĩa
Mặt cầu đi qua mọi đỉnh của hình đa diện gọi là mặt cầu ngoại tiếp đa diện và hình đa diện gọi là nội tiếp mặt cầu đó.
Chú ý: Hình chóp nội tiếp một mặt cầu khi và chỉ khi đáy của nó là một đa giác nội tiếp đường tròn. Từ đó, ta nhận xét: Hình tứ diện nào cũng có mặt cầu ngoại tiếp.
Phương pháp tìm tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
-
Tìm trục của mặt đáy hình chóp.
-
Tìm là mặt phẳng trung trực của một cạnh bên của hình chóp.
-
Tìm giao điểm của và và chứng minh là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho.
Trường hợp đặc biệt:
Trường hợp 1: Các tam giác vuông có chung cạnh huyền. Tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp chính là trung điểm cạnh huyền.
Ví dụ 1: Cho hình chóp có .Biết và . Xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp.
Bài giải
Ta có cùng nhìn cạnh dưới góc .
cùng thuộc mặt cầu đường kính , tâm là trung điểm cạnh
Trường hợp 2: Trục của mặt đáy đồng phẳng với một cạnh bên của hình chóp.
-
-
- Gọi là mặt phẳng chứa trục và cạnh bên ấy. Dựng đường trung trực của cạnh bên ấy.
- Gọi là giao điểm của và và chứng minh là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho.
-
Ví dụ 2: Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh bên bằng và hợp với mặt phẳng đáy một góc . Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp chóp .
Bài giải
Vì là hình chữ nhật nên tâm đường tròn ngoại tiếp là giao điểm hai đường chéo tại . Từ dựng trục tại .
Dựng trung trực của đường thẳng .
Khi đó tâm
Xét vuông tại có
Khi đó, thể tích khối cầu ngoại tiếp là:
Trường hợp 3: Ta xác định được trục của mặt đáy và trục của một mặt bên của hình chóp.
Tìm giao điểm của và và chứng minh là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho.
Ví dụ 3: Cho tứ diện có và là các tam giác đều có cạnh bằng và nằm trên 2 mặt phẳng vuông góc với nhau. Xác định tâm và tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện.
Bài giải
Gọi là trung điểm của
Ta có: và là tam giác đều
Mặt khác, do có và là các tam giác đều cạnh và nằm trong hai mặt phẳng vuông góc với nhau
Gọi là tâm đường tròn ngoại tiếp , là tâm đường tròn ngoại tiếp
đồng thời là trọng tâm của tam giác và
Kẻ đường vuông góc với đáy từ và đường vuông góc với (ABD) từ .
Do hai đường vuông góc này đều thuộc nên gọi là giao điểm hai đường này.
chính là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện và
Dễ chứng minh:
Tương tự, ta có
Khi đó:
(do vuông tại )
No Comments
Leave a comment Cancel