Chuyên đề: Phương trình lượng giác mẫu mực (Phần 2)

Lí thuyết

Phương trình bậc nhất theo sin và cos

Ta xét phương trình lượng giác có dạng: asinx + bcosx = c.

Đầu tiên, ta cần xét:

• Bước 1: Xét điều kiện để phương trình có nghiệm: \( a^2+b^2\geq c^2. \) 
• Bước 2: Chia hai vế cho \( \sqrt{a^2+b^2}\neq 0. \) => Ta được phương trình sau: \( \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}sinx+\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}cosx=\frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}}.\)
• Bước 3: Sử dụng máy tính, tìm góc \( \alpha \) sao cho\( cos\alpha =\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}, sin\alpha =\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}.\)
• Vậy là ta đã đưa phương trình về dạng cơ bản.

Ví dụ 1. Giải phương trình \( \sqrt{3}cos2x+sin2x=2.\)

Ta cũng sẽ thực hiện theo các bước ở trên.

• Bước 1: Xét điều kiện.
• Bước 2: Ta chia hai vế cho \( \frac{1}{2} \).
• Bước 3: Phương trình được đưa về dạng:\( \frac{1}{2}.sin2x+\frac{\sqrt{3}}{2}cos2x=1.\) Từ đây ta sẽ đưa về dạng: \( sin2x.cos\frac{\pi }{3}+sin\frac{\pi}{3}cos2x=1.\)
• Bước 4: Đây chính là phương trình cơ bản: \( sin(2x+\frac{\pi}{3})=1\Leftrightarrow x=\frac{\pi }{12}+k2\pi (k\in \mathbb{Z}) \)

Phương trình đẳng cấp sinx và cosx

Phương trình đẳng cấp sinx và cosx thường sẽ có dạng: \( asin^2x+bsinxcosx+ccos^2x=d. \)

Đối với dạng phương trình này, ta sẽ chia xuống cho \( cos^2x \) hoặc \( sin^2x \).

Ví dụ 2. Giải phương trình \( cos^2x-\sqrt{3}sin2x=1+sin^2x.\) 

Trước khi chia xuống, ta phải xét cosx = 0, khi đó sinx = 1 hoặc sinx = -1. Vậy phương trình vô nghiệm.

Ta chia hai vế của phương trình cho \( cos^2x \), được:

\( 1-2\sqrt{3}tanx=1+2tan^2x\) \( \Leftrightarrow 2tan^2x+2\sqrt{3}tanx=0.\)

Vậy nghiệm của phương trình này là: \( x=k\pi, x=-\frac{\pi}{3}+k\pi (k\in \mathbb{Z}). \) 

Phương trình dạng đối xứng

Dạng phổ biến nhất của phương trình dạng đối xứng là a(sinx + cosx) +bsinxcosx + c = 0.

Cách giải: Đặt t = sinx + cosx, suy ra \( sinx.cosx=\frac{t^2-1}{2}. \) Thay vào phương trình, ta được dạng phương trình đa thức.

Một dạng khác của phương trình đối xứng là a(sinx – cosx) + bsinxcosx + c = 0.

Cách giải: Đặt t = sinx – cosx, suy ra \( sinx.cosx=\frac{1-t^2}{2}.\) Thay vào phương trình, ta đã đưa về được dạng phương trình đa thức.

Một số bài tập tổng hợp

Tác giả xin đề nghị một số bài tập sau để luyện tập:

Bài 1. Giải phương trình: \( 8sinx = \frac{\sqrt{3}}{cosx}+\frac{1}{sinx}. \)

Bài 2. Giải phương trình: \( sin3x-\sqrt{3}cos9x=1+4sin^33x. \)

Bài 3. Giải phương trình: \( cosx+\sqrt{3}sinx=2cos3x. \)

Bài 4. Giải phương trình: \( cos^3x-4sin^3-3cosx.sin^2x+sinx=0. \)

Bài 5. Giải phương trình: \( 3cos^4x-4cos^2xsin^2x+sin^4x=0.\)

Bài 6. Giải phương trình: \( sin2x+2tanx=3.\)

Bài 7. Giải phương trình: \( sinxsin2x+sin3x=6cos^3x. \)

Bài 8. Giải phương trình: \( cosx+sinx+3sinxcosx-1=0.\)

Bài 9. Giải phương trình: \( cosx-sinx+6sinxcosx=1.\)

Bài 10. Giải phương trình: \( (1+sinx)(1+cosx)=2.\)