Bài 2: Phương trình lượng giác cơ bản

Phương trình lượng giác cơ bản là các phương trình có dạng: sinu=m, cosu=m, tanu=m, cotu=m trong đó u là biểu thức theo x và \( m\in \mathbb{R} \)

Phương trình dạng sinu=m

sinu=m (*) có nghiệm \( \Leftrightarrow \left |m \right | \leqslant 1 \)	(*) \( \Leftrightarrow \sin{u}=sin\alpha \Leftrightarrow u=\alpha +k2\pi \vee u=\pi-\alpha+k2\pi \) (với \( \sin\alpha=m, k \in \mathbb{Z} \))
	(*) \( \Leftrightarrow u=\arcsin{m} +k2\pi \vee u=\pi-\arcsin{m}+k2\pi \) (với \( \arcsin{m} \in [-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}], k \in \mathbb{Z}\))
\( \sin{u}=\sin{v} (**) \), với u,v là các biểu thức theo x	(**)\( \Leftrightarrow u=v +k2\pi \vee u=\pi-v+k2\pi(k \in \mathbb{Z}) \)

Ví dụ 1: Giải phương trình \( \sin{3x}=\sin{(x+\frac{\pi}{6})} \) (*)

Bài giải

(*)\( \Leftrightarrow 3x=x+\frac{\pi}{6}+k2\pi \vee 3x=\pi -(x + \frac{\pi}{6})+k2\pi \) \( \Leftrightarrow x=\frac{\pi}{12}+k\pi \vee x= \frac{5\pi}{24}+\frac{k\pi}{2} \)

Vậy \( S=\{\frac{\pi}{12}+k\pi ; \frac{5\pi}{24}+\frac{k\pi}{2}\} \)

Phương trình dạng cosu=m

cosu=m (*) có nghiệm \( \Leftrightarrow \left |m \right | \leqslant 1 \)	(*) \( \Leftrightarrow \cos{u}=cos\alpha \Leftrightarrow u=\alpha +k2\pi \vee u=-\alpha+k2\pi \) (với \( \cos\alpha=m, k \in \mathbb{Z} \))
	(*) \( \Leftrightarrow u=\arccos{m} +k2\pi \vee u=-\arccos{m}+k2\pi \) (với \( \arccos{m} \in [0;\pi], k \in \mathbb{Z} \))
\( \cos{u}=\cos{v} (**) \), với u,v là các biểu thức theo x	(**) \( \Leftrightarrow u=v +k2\pi \vee u=-v+k2\pi(k \in \mathbb{Z}) \)

Ví dụ 2: Giải phương trình \( \cos{(x+\frac{\pi}{5})}=\sin{\frac{\pi}{10}} (*) \)

Bài giải

\( (*)\Leftrightarrow \cos{(x+\frac{\pi}{5})}=\cos{(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{10})} \) \( \Leftrightarrow \cos{(x+\frac{\pi}{5})}=\cos{\frac{2\pi}{5}} \) \( \Leftrightarrow x+\frac{\pi}{5}=\frac{2\pi}{5}+k2\pi \vee x+\frac{\pi}{5}=-\frac{2\pi}{5}+k2\pi \) \( \Leftrightarrow x=\frac{\pi}{5}+k2\pi \vee x=-\frac{3\pi}{5}+k2\pi (k \in \mathbb{Z}) \)

Vậy \( S=\{\frac{\pi}{5}+k2\pi ;-\frac{3\pi}{5}+k2\pi |k \in \mathbb{Z}\} \)

Đặc biệt:

\( \sin{u}=1 \Leftrightarrow u=\frac{\pi}{2}+k2\pi \)	\( \cos{u}=1 \Leftrightarrow u=k2\pi \)
\( \sin{u}=-1 \Leftrightarrow u=-\frac{\pi}{2}+k2\pi \)	\( \cos{u}=-1 \Leftrightarrow u=\pi + k2\pi \)
\( \sin{u}=0 \Leftrightarrow u=k\pi \)	\( \cos{u}=0 \Leftrightarrow u=\frac{\pi}{2}+k\pi \)

Phương trình dạng tanu=m

tanu=m (*) \( (m \in \mathbb{R})\)	(*) \( \Leftrightarrow \tan{u}=tan\alpha \Leftrightarrow u=\alpha +k\pi \) (với  \( tan\alpha=m, k \in \mathbb{Z} \))
	(*) \( \Leftrightarrow u=\arctan{m} +k\pi \) (với \(\arctan{m} \in (-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}), k \in \mathbb{Z} \))
\( \tan{u}=\tan{v} (**) \), với u,v là các biểu thức theo x	(**) \( \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} u\neq \frac{\pi}{2} +l \pi (hay v\neq \frac{\pi}{2} +l\pi) \\ u=v+k\pi \end{matrix}\right. (k,l \in \mathbb{Z}) \)

Ví dụ 3: Giải  phương trình \( \tan{3x}=\tan{x} (*) \)

Bài giải

\( (*)\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x \neq \frac{\pi}{2}+l\pi \\ 3x=x+k\pi \end{matrix}\right. \) \( \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x \neq \frac{\pi}{2}+l\pi \\ x=\frac{k\pi}{2} (k,l \in \mathbb{Z}) \end{matrix}\right. \)

Vậy \( S=\{k\pi|k \in \mathbb{Z}\} \)

Phương trình dạng cotu=m

cotu=m (*) \( (m \in \mathbb{R}) \)	(*) \( \Leftrightarrow \cot{u}=cot\alpha \Leftrightarrow u=\alpha +k\pi \) (với  \( cot\alpha=m, k \in \mathbb{Z}\))
	(*) \( \Leftrightarrow u=\textrm{arccot}m+k\pi \) (với \( \textrm{arccot}{m} \in (0;\pi), k \in \mathbb{Z} \))
\( \cot{u}=\cot{v} (**) \), với u,v là các biểu thức theo x	(**) \( \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} u\neq +l \pi (hay v\neq l\pi) \\ u=v+k\pi \end{matrix}\right. (k,l \in \mathbb{Z})\)

Ví du 4: Giải phương trình \( \cot(3x-\frac{\pi}{3})=cot{2x} (*) \)

Bài giải

\( (*)\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2x \neq l\pi \\ 2x=3x-\frac{\pi}{3}+k\pi \end{matrix}\right. \) \( \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x \neq \frac{l\pi}{2} \\ x=\frac{\pi}{3}-k\pi (k,l \in \mathbb{Z}) \end{matrix}\right. \)

Vậy \( S=\{\frac{\pi}{3}-k\pi |k,l \in \mathbb{\mathbb{Z}}\} \)

Chú ý:

Trên thực tế ta còn gặp những phương trình mà trong đó có sử dụng đơn vị đo là độ. Khi đó ta sử dụng kí hiệu số đo độ trong công thức nghiệm, chẳng hạn, ta viết x=a⁰+k.360⁰ hay x=a⁰+k.180⁰

Ta quy ước nếu không giải thích gì thêm hoặc trong phương trình lượng giác không sử dụng đơn vị đo góc là độ thì mặc nhiên ẩn số là radian của góc lượng giác