Bài 1: Hàm số lượng giác

Tính chất của hàm số

1. Hàm số chẵn, hàm số lẻ:

• Hàm số y = f(x) có tập xác định D gọi là hàm số chẵn khi:
  • Với mọi \( x \in D \) thì \( -x \in D \)
  • f(x) = f(-x)
• Đồ thị hàm số chẵn đối xứng qua trục tung.
• Hàm số y = f(x) có tập xác định D gọi là hàm số lẻ khi:
  • Với mọi \( x \in D \) thì \( -x \in D \)
  • -f(x) = f(-x)
• Đồ thị hàm số lẻ đối xứng qua gốc tọa độ.

2. Hàm số đơn điệu

• Cho f(x) xác định trên tập (a;b) ⊂ ℝ:
  • y = f(x) đồng biến trên (a;b) nếu với mọi x₁, x₂ ∈ (a;b) có x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) < f(x₂).
  • y = f(x) nghịch biến trên (a;b) nếu với mọi x₁, x₂∈ (a;b) có x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) > f(x₂).

3. Hàm số tuần hoàn

• Hàm số y = f(x) xác định trên tập hợp D được gọi là hàm số tuần hoàn nếu tồn tại số T ≠ 0 sao cho với mọi x ∈ D, ta có:
  • $(x+T)\in Dvà(x–T)\in \mathrm{D\; v}àf(x–T)=f(x+T)=f\left(x\right).$
  • Khi đó, T được gọi là chu kì tuần hoàn của hàm số f(x)

Hàm số lượng giác

1. Hàm số sin

• Quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực x với sin của góc lượng giác có số đo radian bằng x được gọi là hàm số sin
  • Kí hiệu y = sinx
  • Tập xác định: D = ℝ
  • Tập giá trị là [-1;1]
  • Là hàm số lẻ (do sin(-x) = -sinx)
  • Là hàm số tuần hoàn với chu kì 2π
  • Đồng biến trên mỗi khoảng (\( \frac{-π}{2} \) +k2π; \( \frac{π}{2} \)+k2π) và nghịch biến trên mỗi khoảng (\( \frac{π}{2} \) +k2π; \( \frac{3π}{2} \)+k2π), với k ∈ ℤ
  • Có đồ thị là một đường hình sin và nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng

Đồ thị hàm số y=sinx

2. Hàm số cosin

• Quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực x với cos của góc lượng giác có số đo radian bằng x được gọi là hàm số cos
  • Kí hiệu y = cosx
  • Tập xác định: D = ℝ
  • Tập giá trị là [-1;1]
  • Là hàm số chẵn (do cos(-x) = cosx)
  • Là hàm số tuần hoàn với chu kì 2π
  • Đồng biến trên mỗi khoảng (–π+k2π; k2π) và nghịch biến trên mỗi khoảng (k2π; π+k2π), với k ∈ ℤ
  • Có đồ thị là một đường hình sin và nhận trục tung làm trục đối xứng

Đồ thị hàm số y=cosx

3. Hàm số tan

• Quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực x ∈ ℝ\{π2+kπ; k ∈ℤ} với tan của góc lượng giác có số đo radian bằng x được gọi là hàm số tan
  • Kí hiệu y=tanx
  • Tập xác định: D = ℝ\{π2+kπ; k ∈ℤ.
  • Tập giá trị là ℝ
  • Là hàm số lẻ (do tan(-x) = -tanx)
  • Là hàm số tuần hoàn với chu kì π
  • Đồng biến trên mỗi khoảng (–π2+kπ;π2+kπ), với k ∈ ℤ
  • Đồ thị nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng và nhận mỗi đường x=π2+kπ (k∈ℤ) làm một đường tiệm cận

Đồ thị hàm số y=tanx

4. Hàm số cot

• Quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực x∈ ℝ\{kπ; k ∈ℤ} với cot của góc lượng giác có số đo radian bằng x được gọi là hàm số cot
  • Kí hiệu y = cotx
  • Tập xác định: D = ℝ\{kπ; k ∈ℤ}
  • Tập giá trị là ℝ
  • Là hàm số lẻ (do cot(-x) = -cotx)
  • Là hàm số tuần hoàn với chu kì π
  • Nghịch biến trên mỗi khoảng (kπ;π+kπ) với k ∈ ℤ
  • Đồ thị nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng và nhận mỗi đường x=kπ (k∈ℤ) làm một đường tiệm cận

Đồ thị hàm số y=cotx