Bài 2 của chương này có thể xem là một trong những bài quan trọng nhất trong học kì 2 của lớp 11. Ta cần nắm kĩ một số kiến thức của bài trước, đặc biệt là các phép toán trong vector để có thể học tốt ở bài này.

A. Ôn tập lí thuyết cũ:

Trong không gian, ta cần nhớ các phép tính vector sau:

a) Qui tắc hình bình hành:

Nếu ABCD là hình bình hành thì ta có: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}.$ (hình)

b) Qui tắc ba điểm:

Cho 3 điểm A, B, C bất kì thì ta luôn có:

$\overrightarrow{AB} +\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}.$

c) Qui tắc hình hộp:

Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ thì ta luôn có:

$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AA'}=\overrightarrow{AC'}.$

Đồng thời, ta gần ghi nhớ các điều kiện để vector cùng phương và vector đồng phẳng.

B. Lí thuyết cần nhớ:

1. Góc giữa hai vector:

Cho $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}$ là hai vector trong không gian. Từ một điểm A bất kì, vẽ $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{u},\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{v}.$ Vậy góc BAC ( $0^0\leq \widehat{BAC}\leq 180^0.$ ) là góc giữa hai vector $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}.$ , kí hiệu là $(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})=\widehat{BAC}.$

2. Tích vô hướng của hai vector:

Tích vô hướng của hai vector là kiến thức mà các bạn đã được giới thiệu vào năm lớp 10. Ta có định nghĩa của tích vô hướng như sau:

Định nghĩa.

Tích vô hướng của hai vector $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}$ khác vector không là một số được kí hiệu là $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}$ , xác định bởi công thức sau:

$\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=\left | \overrightarrow{u} \right |.\left | \overrightarrow{v} \right |.cos(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})$

Trong trường hợp $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{0}$ hoặc $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{0}$ thì ta qui ước $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=\overrightarrow{0}$ .

Đối với tích vô hướng của hai vector, ta có những tính chất như sau:

Tính chất. Với ba vector $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$ và với mọi số k, ta có:

Tính chất giao hoán: $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}.\overrightarrow{a}$
Tính chất phân phối: $\overrightarrow{a}.(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})=\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}.\overrightarrow{c}$
Tính chất với số k: $(k.\overrightarrow{a}).\overrightarrow{b}=k.(\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b})=(k.\overrightarrow{b}).\overrightarrow{a}$
$(\overrightarrow{a})^2\geq 0,(\overrightarrow{a})^2=0\Rightarrow \overrightarrow{a}=\overrightarrow{0}.$

Lưu ý. Ta có thể ứng dụng tích vô hướng để tính góc giữa hai vector (dựa vào cos theo công thức tích vô hướng).

Ví dụ 1. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC và AD, biết AB = CD = a, $MN=\frac{a\sqrt{3}}{2}.$

Tính góc giữa hai đường thẳng AB và CD.

Nếu làm một cách truyền thống, ta có thể xử lí bài này như sau:

Cách 1. Gọi I là trung điểm AC. Đặt $\widehat{MIN}=\alpha .$

Xét tam giác IMN có $IM=\frac{AB}{2}=\frac{a}{2},IN=\frac{CD}{2}=\frac{a}{2},MN=\frac{a\sqrt{3}}{2}.$

Theo định lí cos trong tam giác, ta có:

$cos\alpha =\frac{IM^2+IN^2-MN^2}{2IM.IN}=\frac{(\frac{a}{2})^2+(\frac{a}{2})^2-(\frac{a\sqrt{3}}{2})^2}{2.\frac{a}{2}.\frac{a}{2}}=-\frac{1}{2}<0$

$\Rightarrow \widehat{MIN}=120^0\Rightarrow (AB,CD)=60^0.$

Ta lưu ý rằng góc giữa hai đường thẳng luôn là góc nhọn (theo qui ước) và không bao giờ là góc tù.

Ngoài ra, ta còn có thể xử lí bài này theo cách như sau:

Cách 2. Xử lí bằng tích vô hướng của hai vector.

Ta có:

$cos(AB,CD)=cos(IM,IN)=\frac{\left | \overrightarrow{IM}.\overrightarrow{IN} \right |}{\left | \overrightarrow{IM} \right |.\left | \overrightarrow{IN} \right |}$

Lại có:

$\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{IN}-\overrightarrow{IM}\Rightarrow (\overrightarrow{MN})^2=(\overrightarrow{IN}-\overrightarrow{IM})^2=IM^2+IN^2-2\overrightarrow{IM}.\overrightarrow{IN}$

$\Rightarrow \overrightarrow{IN}.\overrightarrow{IM}=\frac{IM^2+IN^2-MN^2}{2}=-\frac{a^2}{8}.$

Từ đây ta suy ra:

$cos(AB,CD)=\left | cos(IM,IN) \right |=\frac{1}{2}.$

Vậy $(AB,CD)=60^0.$

3. Hai đường thẳng vuông góc:

Ta rất dễ dàng suy ra định nghĩa của hai đường thẳng vuông góc.

Định nghĩa.

Hai đường thẳng vuông góc nếu góc giữa chúng là 90 độ. Kí hiệu: $a\bot b.$

Từ định nghĩa, ta có thể suy ra một số tính chất sau:

Tính chất.

Nếu $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}$ lần lượt là vector chỉ phương của hai đường thẳng a và b thì $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=0.$
Cho hai đường thẳng song song với nhau. Nếu một đường thẳng vuông góc với đường thẳng này thì cũng vuông góc với đường thẳng kia.
Hai đường thẳng vuông góc nhau thì có thể cắt nhau hoặc chéo nhau.

C. Bài tập:

Bài 1. Cho hình chóp tam giác S.ABC có SA = SB = SC = AB = AC = a, BC = $a\sqrt{2}$ .

Tính góc giữa hai vector AB và SC.
Tính góc giữa hai đường thẳng AB và SC.

Bài 2. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC và AD. Tính góc giữa hai đường thẳng AB và CD biết $AB=CD=2a,MN=a\sqrt{3}.$

Bài 3. Cho tứ diện đều ABCD, có cạnh là a. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD. Chứng minh rằng AO vuông góc với CD.

Bài 4. Cho tứ diện ABCD có AB = AC = AD. Gọi O là điểm thỏa mãn OA = OB = OC = OD và G là trọng tâm của tam giác ACD, E là trung điểm BG, F là trung điểm AE.

Chứng minh rằng OF vuông góc với BG khi và chỉ khi OD vuông góc với AC.

Bài 5. Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC = a và BC = $a\sqrt{2}.$ Tính góc giữa hai đường thẳng AB và SC.

D. Giới thiệu sách: Ai và Ky ở xứ sở những con số tàng hình – Ngô Bảo Châu, Nguyễn Phương Vân.

Trong các bài học trước do mình viết thì thường mình rất ít khi giới thiệu những cuốn sách tới cho các bạn. Nhưng vì cuốn này viết hay và hấp dẫn quá, nên hôm nay mình sẽ phá lệ giới thiệu luôn.

Nhân vật chính trong truyện là Ai và Ky. Ai là một cậu bé có khả năng toán học cực kì kém. Ai rơi vào một thế giới của những con số tàng hình, đó là một thế giới kỳ lạ, một khoảng không rộng lớn và lơ lửng giữa thế giới đó. Sau đó Ky đến giúp cậu và cả hai bắt đầu cuộc hành trình. Qua nhiều lần học hỏi và được các nhà toán học chỉ dẫn và tặng các công cụ, Ai càng ngày càng nâng cao được khả năng toán học vốn rất kém của mình. Qua câu truyện, những công thức toán học tưởng như khô khan, khó nhớ lại được tác giả thể hiện một cách sinh động, dễ hiểu bằng nhiều cách khác nhau. Nhân vật trong cuốn sách còn là các nhà toán học nổi tiếng như Pythagore, Thales, Euclide, hoặc những CEO nổi tiếng như cố CEO của Apple, Steve Jobs, những người đã dạy cho Ai những công thức và định lí của Toán học.

Thể loại. ‘Toán’ hiệp.

Ngày ra mắt. Ngày 19 tháng 3 năm 2012.

Số trang. 176.

Nguyễn Nam Thành viên kể từ November 19, 2019

Người đóng góp

Bài 2: Hai đường thẳng vuông góc

A. Ôn tập lí thuyết cũ:

a) Qui tắc hình bình hành:

b) Qui tắc ba điểm:

c) Qui tắc hình hộp:

B. Lí thuyết cần nhớ:

1. Góc giữa hai vector:

2. Tích vô hướng của hai vector:

3. Hai đường thẳng vuông góc:

C. Bài tập:

D. Giới thiệu sách: Ai và Ky ở xứ sở những con số tàng hình – Ngô Bảo Châu, Nguyễn Phương Vân.

Bài 1: Hai quy tắc đếm cơ bản

Ôn tập chương 2

Bài 1: Hàm số lượng giác

Bài 2: Phương trình lượng giác cơ bản

Bài 1: Phương pháp truy chính toán học

Bài 4: Biến cố và xác suất của biến cố

Bài 4: Cấp số nhân

Bài 3: Một số phương trình lượng giác thường gặp

No Comments

A. Ôn tập lí thuyết cũ:

a) Qui tắc hình bình hành:

b) Qui tắc ba điểm:

c) Qui tắc hình hộp:

<img class="alignnone" src="http://suretest.vn/FileUpload/1/Editor/Images/toan11hhc3.bai1.3.png" alt="Image result for quy tắc ba điểm" />

B. Lí thuyết cần nhớ:

1. Góc giữa hai vector:

2. Tích vô hướng của hai vector:

3. Hai đường thẳng vuông góc:

C. Bài tập:

D. Giới thiệu sách: Ai và Ky ở xứ sở những con số tàng hình – Ngô Bảo Châu, Nguyễn Phương Vân.

Related articles

No Comments