Bài 3: Cấp số cộng

Định nghĩa

Cấp số cộng là một dãy số (vô hạn hay hữu hạn), mà trong đó, kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng tổng của số hạng đứng ngay trước nó với một số d không đổi, tức là:

$(u_n)$ là cấp số cộng $\Leftrightarrow\forall n \geq 2, u_n=u_{n-1}+d$

d được gọi là công sai của cấp số cộng

Ví dụ 1: Chứng minh dãy số $(u_n)$ với $u_n=2n+3$ là một cấp số cộng. Xác định công sai của cấp số cộng đó.

Bài giải

Ta có $u_n-u_{n-1}=2n+3-[2(n-1)+3]=2$

Vậy $(u_n)$ là một cấp số cộng với công sai $d=2$

Tính chất

Nếu $(u_n)$ là một cấp số cộng thì kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng (trừ số hạng cuối đối với cấp số cộng hữu hạn) đều là trung bình cộng của hai số hạng đứng kế nó trong dãy, tức là:

$u_k=\frac{u_{k-1}+u_{k+1}}{2}$

Chứng minh:

Ta có: $\left\{\begin{matrix}u_{k-1}=u_k-d\\ u_{k+1}=u_k+d\end{matrix}\right.$

$\Rightarrow u_{k-1}+u_{k+1}=2u_k$

$\Rightarrow u_k=\frac{u_{k-1}+u_{k+1}}{2}$ (đpcm)

Ví dụ 2: Cho ba số a, b, c theo thứ tự lập thành một cấp số cộng. Chứng minh $a^2+2bc=c^2+2ab$

Bài giải

Ta có: $2b=a+c$

$\\\Rightarrow b-c=a-b\\\Rightarrow (b-c)^2=(a-b)^2\\\Rightarrow b^2-2bc+c^2=a^2-2ab+b^2$

$\Rightarrow c^2+2ab=a^2+2bc$ (đpcm)

Số hạng tổng quất

Nếu một cấp số cộng có số hạng đầu $u_1$ và công sai d thì số hạng tổng quát $u_n$ của nó được xác định bởi công thức:

$u_n=u_1+(n-1)d,\ \forall n \geq 2$

Chứng minh:

Với $n=2$ , ta có $u_2=u_1+d \Rightarrow$ đúng với $n=2$

Giả sử công thức đúng với $n=k (k \geq 2): u_k=u_1+(k-1)d.$

Ta chứng minh điều này cũng đúng với $k+1$ , tức là $u_{k+1}=u_1+kd$ .

Thật vậy, ta có $u_{k+1}=u_k+d=u_1+(k-1)d+d=u_1+kd$ .

Vậy, theo phương pháp chứng minh quy nạp, ta có điều phải chứng minh.

Ví dụ 3: Cho một cấp số cộng có 8 số hạng, trong đó $u_1=3, \ u_8=17$ . Tìm công sai của cấp số cộng đó.

Bài giải

Ta có: $u_8=u_1+7d$

$\\\Leftrightarrow 7d=u_8-u_1=17-3=14\\\Leftrightarrow d=2$

Vậy công sai của cấp số cộng này là $d=2$

Tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số cộng

Giả sử $(u_n)$ là một cấp số cộng có công sai $d$ .

Gọi $S_n=\sum_{k=1}^n=u_1+u_2+...+u_n$ ( $S_n$ là tổng n số hạng đầu tiên của cấp số cộng), ta có:

$S_n=\frac{n(u_1+u_n)}{2}=\frac{n(2u_1+(n-1)d)}{2}$

Chứng minh:

Ta có: $S_n= u_1+u_2+u_3...+u_n$

$\\=u_1+u_1+d+u_1+2d...+u_1+(n-1)d\ (1) \\\\=u_1+(n-1)d+u_1+(n-2)d+u_1+(n-3)d...+u_1\ (2) \\\\\Rightarrow (1)+(2)=2S_n \\\\=[u_1+u_1+(n-1)d]+[u_1+d+u_1+(n-2)d]+...+[u_1+(n-1)d+u_1] \\\\=[2u_1+(n-1)d]+[2u_1+(n-1)d]+...+[2u_1+(n-1)d] \\\\=n[2u_1+(n-1)d]$