Bài 4: Hàm số mũ - Hàm số logarit

Định nghĩa

Cho $0<a \neq 1$

Hàm số dạng $y=a^x$ được gọi là hàm số mũ cơ số a.

Hàm số dạng $y=\log_a{x}$ được gọi là hàm số logarit cơ số a.

Lưu ý:

Kí hiệu $y=\log{x}$ dùng đề chỉ hàm số logarit cơ số 10.

Kí hiệu $y=\ln{x}$ dùng để chỉ hàm số logarit cơ số e.

Một số giới hạn liên quan tới hàm số mũ và hàm số logarit

Người ta chứng minh được rằng:

$\lim_{x\rightarrow 0}{\frac{\ln{(x+1)}}{x}}=1$

$\lim_{x\rightarrow 0}{\frac{e^x-1}{x}}=1$

Ví dụ 1: Tính các giới hạn sau:

a. $\lim_{x\rightarrow 0}{\frac{\ln{\left (1+\sin{x} \right )}}{x}}$

b. $\lim_{x\rightarrow 0}{\frac{\sqrt[3]{e^x}-1}{x}}$

Bài giải

a. $\lim_{x\rightarrow 0}{\frac{\ln{\left (1+\sin{x} \right )}}{x}}$ $= \lim_{x\rightarrow 0}{\left [\frac{\ln{\left (1+\sin{x} \right )}}{\sin{x}}.\frac{\sin{x}}{x} \right ]}$ $=1.1=1$

b. $\lim_{x\rightarrow 0}{\frac{\sqrt[3]{e^x}-1}{x}}$ $=\lim_{x\rightarrow 0}{\left (\frac{e^\frac{x}{3}-1}{\frac{x}{3}}.\frac{1}{3} \right )}$ $=1.\frac{1}{3}$ $=\frac{1}{3}$

Đạo hàm của hàm số mũ và hàm số logarit

Đạo hàm của hàm số mũ

Cho $0<a \neq 1$ và K là một khoảng hay hợp của nhiều khoảng nào đó.

Hàm số $y=a^x$ có đạo hàm tại mọi điểm $x \in \mathbb{R}$ và

$\left (a^x \right )'=a^x.\ln{a}$

Nói riêng: $\left (e^x \right )'=e^x$

Nếu $u=u(x)$ là hàm số có đạo hàm trên K thì hàm số $y=a^{u(x)}$ có đạo hàm trên K và

$\left (a^{u(x)} \right )'=a^{u(x)}.\ln{a}.u'(x)$

Nói riêng: $\left (e^{u(x)} \right )'=e^x.u'(x)$

Ví dụ 2: Tìm đạo hàm của hàm số $y=(x+1)e^{2x}$

Bài giải

$y'=(x+1)'.e^{2x}+(x+1).(e^{2x})'$

$=e^{2x}+(2x)'(x+1).e^{2x}$

$=e^{2x}+2(x+1).e^{2x}$

$=(2x+3).e^{2x}$

Đạo hàm của hàm số logarit

Cho $0<a \neq 1$ và K là một khoảng hay hợp của nhiều khoảng nào đó

Hàm số $y=\log_a{x}$ có đạo hàm tại mọi điểm x>0 và

$\left (\log_a{x} \right )'=\frac{1}{x.\ln{a}}$

Nói riêng: $\left (\ln{x} \right )'=\frac{1}{x}$

Nếu $u=u(x)$ là hàm số nhận giá trị dương và có đạo hàm trên K thì hàm số $y=\log_a{u(x)}$ có đạo hàm trên K và:

$\left (\log_a{u(x)} \right )'=\frac{u'(x)}{u(x).\ln{a}}$

Nói riêng: $\left (\ln{u(x)} \right )'=\frac{u'(x)}{u(x)}$

Ví dụ 3: Chứng minh $\forall x<0$ , ta có $\left (\ln{(-x)} \right )'=\frac{1}{x}$

Bài giải

$\forall x<0$ , ta có: $\left (\ln{(-x)} \right )'=\frac{(-x)'}{-x}=\frac{-1}{-x}=\frac{1}{x}$

Hệ quả

$\left (\ln{\left | x \right |} \right )'=\frac{1}{x}\ (x\neq0)$

Nếu $u=u(x)$ là hàm số nhận giá trị khác 0 và có đạo hàm trên K thì:

$\left (\ln{\left | u(x) \right |} \right )'=\frac{u'(x)}{u(x)}\ (\forall x\in K)$

Sự biến thiên và đồ thị của hàm số mũ và hàm số logarit

Hàm số $y=a^x$

Tập xác định: $\mathfrak{D}=\mathbb{R}$
Đạo hàm: $y'=a^{x}.\ln{a}$

$a>1$	$y'>0, \forall x \in \mathbb{R}$
$0<a<1$	$y'<0, \forall x \in \mathbb{R}$

Giới hạn và tiệm cận:

$a>1$	$\lim_{x\rightarrow +\infty}=+\infty$ $\lim_{x\rightarrow -\infty}=0$	TCN: y=0 ( $x \rightarrow -\infty$ )
$0<a<1$	$\lim_{x\rightarrow -\infty}=+\infty$ $\lim_{x\rightarrow +\infty}=0$	TCN: y=0 ( $x \rightarrow +\infty$ )

Bảng biến thiên:

a>1

0<a<1

Đồ thị hàm số luôn cắt trục tung tại điểm M(0;1) (do $a^0=1$ ) và nằm phía trên trục hoành

Hàm số $y=\log_a{x}$

Tập xác định: $\mathfrak{D}=(0;+\infty)$
Đạo hàm: $y'=\frac{1}{x.\ln{a}}$

$a>1$	$y'>0, \forall x \in \mathfrak{D}$
$0<a<1$	$y'<0, \forall x \in \mathfrak{D}$

Giới hạn và tiệm cận:

$a>1$	$\lim_{x\rightarrow +\infty}y=+\infty$ $\lim_{x\rightarrow 0^+}y=-\infty$	TCĐ: x=0 ( $x\rightarrow 0^+$ )
$0<a<1$	$\lim_{x\rightarrow 0^+}y=+\infty$ $\lim_{x\rightarrow +\infty}y=-\infty$	TCĐ: x=0 ( $x\rightarrow 0^+$ )