Bài 5: Phương trình mũ và phương trình logarit

Phương trình mũ

Phương trình mũ cơ bản

Định nghĩa

Phương trình mũ cơ bản là phương trình có dạng:

$a^x=m$ với $a,\ m$ cho trước thỏa mãn $a > 0$ và $a \neq 1$ (x là ẩn số)

Cách giải

Nếu $m\leq 0$ thì phương trình vô nghiệm vì $a^x>0, \forall x$

Nếu $m>0$ thì $a^x=m \Leftrightarrow x=\log_a{m}$

Ví dụ 1: Giải phương trình $2^{2x}+4^{x+1}=10$

Bài giải

$2^{2x}+4^{x+1}=10 \\\Leftrightarrow 4^x+4.4^x=10 \\\Leftrightarrow 4^x(1+4)=10 \\\Leftrightarrow 4^x=2 \\\\\Leftrightarrow x=\log_4{2}=\frac{1}{2}$

Vậy $S=\left \{ \frac{1}{2} \right \}$

Một số phương pháp giải phương trình mũ

Phương pháp đưa về cùng cơ số

Tính chất: với $0<a\neq 1$ thì

$a^\alpha=a^\beta \Leftrightarrow \alpha=\beta$

Ví dụ 2: Giải phương trình $3^{x-1}=9^{2x+1}$

Bài giải

$3^{x-1}=9^{2x+1} \\\Leftrightarrow 3^{x-1}=3^{4x+2} \\\Leftrightarrow x-1=4x+2 \\\Leftrightarrow x=-1$

Vậy $S=\left \{ -1 \right \}$

Phương pháp đặt ẩn phụ

Đặt $t=a^{x} \Rightarrow x=\log_a{t}$ , điều kiện: t>0, ta biến đổi phương trình đã cho theo t rồi ta tìm x

Ví dụ 3: Giải phương trình $9^{x}-4.3^x-45=0$

Bài giải

$9^{x}-4.3^x-45=0\\\Leftrightarrow \left ({3^x} \right )^2-4.3^x-45=0$

Đặt $t=3^x (t>0) \Rightarrow x=\log_3{t}$ , phương trình trở thành:

$t^2-4t-45=0$

$\Leftrightarrow \begin{bmatrix} t=9\\ t=-5 \end{matrix}$

So điều kiện, ta nhận t=9.

Khi đó: $x=\log_3{9}=2$

Vậy $S=\left \{2 \right \}$

Phương pháp logarit hóa

Với phương trình không cùng cơ số dạng $a^{f(x)}=b^{g(x)}$ ( $a,b>0,\ \ a,b \neq 1$ ), lấy logarit cơ số a (hoặc b) cho hai vế, ta có:

$a^{f(x)}=b^{g(x)}\Leftrightarrow \log_a{a^{f(x)}}=\log_a{b^{g(x)}}\Leftrightarrow f(x)=g(x).\log_a{b}$

Ví dụ 4: Giải phương trình $2^{x-3}=5^{x^2-5x+6}$

Bài giải

$2^{x-3}=5^{x^2-5x+6} \\\Leftrightarrow \log_2{2^{x-3}}=\log_2{5^{x^2-5x+6}} \\\Leftrightarrow x-3=(x^2-5x+6)\log_2{5} \\\Leftrightarrow (x-3)(x-2)\log_2{5}-(x-3)=0 \\\Leftrightarrow (x-3)\left [(x-2)\log_2{5}-1 \right ]=0 \\\\\Leftrightarrow \begin{bmatrix} x-3=0\\ (x-2)\log_2{5}=1 \end{matrix} \\\\\Leftrightarrow \begin{bmatrix} x-3=0\\ x-2=\log_5{2} \end{matrix} \\\\\Leftrightarrow \begin{bmatrix} x=3\\ x=\log_5{2}+2 \end{matrix}$

Vậy $S=\left \{ 3;\log_5{2}+2 \right \}$

Phương pháp dùng tính đơn điệu của hàm số

Ta đưa về bài toán biện luận nghiệm dựa vào khảo sát hàm số

Ví dụ 5: Giải phương trình $2^x+3^x+5^x=10$

Bài giải

$2^x+3^x+5^x=10 \\\Leftrightarrow 2^x+3^x+5^x-10=0$

Xét hàm số $f(x)=2^x+3^x+5^x-10$ , ta có:

$f'(x)=2^x.\ln{2}+3^{x}.\ln{3}+5^x.\ln{5}>0, \forall x \in \mathbb{R}$

$\Rightarrow f(x)$ đồng biến trên $\mathbb{R}$

$\Rightarrow$ phương trình $f(x)=0$ có duy nhất 1 nghiệm

Mà $f(1)=0$ nên $x=1$ là nghiệm duy nhất của phương trình $f(x)=0$

Vậy $S=\left \{ 1 \right \}$

Phương trình logarit

Phương trình logarit cơ bản

Định nghĩa

Phương trình mũ cơ bản là phương trình có dạng:

$\log_a{x}=m$ với $a,\ m$ cho trước thỏa mãn $a > 0$ và $a \neq 1$ (x là ẩn số)

Cách giải

Phương trinh luôn có nghiệm duy nhất $x=a^m$

Ví dụ 6: Giải phương trình $\log_3{x}+\log_3{\left (x+2 \right )}=1$

Bài giải

$\mathfrak{D}=(0;+\infty)$

$\log_3{x}+\log_3{\left (x+2 \right )}=1\\ \\\Leftrightarrow \log_3{\left [x(x+2) \right ]}=1\\ \\\Leftrightarrow x(x+2)=3^1\\ \\\Leftrightarrow x^2+2x-3=0\\\\ \Leftrightarrow \begin{bmatrix} x=1\\ x=-3 \end{matrix}$

So điều kiện, ta nhận $x=1$

Vậy $S=\left \{ 1 \right \}$

Một số phương pháp giải phương trình mũ

Phương pháp đưa về cùng cơ số

Tính chất: với $0<a\neq 1$ thì

$\log_a{\alpha}=\log_a{\beta}\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \alpha=\beta\\ \alpha>0\ (\textup{hay}\ \beta>0) \end{matrix}\right.$

Ví dụ 7: Giải phương trình $\log_4{\left (x+12 \right )}.\log_x{2}=1$

Bài giải

$\mathfrak{D}=(0;+\infty)\setminus \left \{ 1 \right \}$

$\log_4{\left (x+12 \right )}.\log_x{2}=1 \\\Leftrightarrow \log_4{(x+12)}=\log_2{x} \\\Leftrightarrow \log_2{(x+12)}=2\log_2{x} \\\Leftrightarrow \log_2{(x+12)}=\log_2{x^2} \\\Leftrightarrow x^2=x+12 \\\Leftrightarrow x^2-x-12=0 \\\Leftrightarrow \begin{bmatrix} x=4\\ x=-3 \end{matrix}$