Bài 20: Mạch dao động

I. Mạch dao động

Khái niệm

Một cuộn cảm có độ tự cảm L mắc với một tụ điện có điện dung C thành một mạch điện kín gọi là mạch dao động.

Nếu điện trở của mạch rất nhỏ, coi như bằng không thì mạch là một mạch dao động lí tưởng.

Cách tạo ra một mạch dao động

Muốn cho mạch dao động hoạt động thì cần tích điện cho tụ điện rồi cho nó phóng điện trong mạch.
Người ta sử dụng điện áp xoay chiều được tạo ra giữa hai bản của tụ điện bằng cách nối hai bản này với mạch ngoài.

II. Dao động điện từ tự do trong mạch dao động

Sự biến thiên điện tích và cường độ dòng điện trong một mạch dao động lí tưởng

Ta có phương trình về q như sau:

$q=q_{0}cos\left ( \omega t+\varphi \right )$

với

$\omega =\frac{1}{\sqrt{LC}}$

$\omega$ : tần số góc của dao động (rad/s).

q > 0 ứng với lúc bản mà ta xét điện tích dương.

Từ phương trình q ta có phương trình i như sau:

$i=\frac{d_{q}}{d_{t}}=I_{0}cos\left ( \omega t+\varphi +\frac{\pi }{2} \right )$

với

$I_{0}=q_{0}\omega$

i > 0 ứng với dòng điện có chiều chạy đến bản mà ta xét

Điện tích q của một bản tụ điện và cường độ dòng điện i trong mạch dao động biến thiên điều hòa theo thời gian; i sớm pha $\frac{\pi }{2}$ so với q.

Định nghĩa dao động điện từ tự do

Sự biến thiên điều hòa theo thời gian của điện tích q của một bản tụ điện và cường độ dòng điện i (hoặc cường độ điện trường $\underset{E}{\rightarrow}$ và cảm ứng từ $\underset{B}{\rightarrow}$ ) trong mạch dao động được gọi là dao động điện từ tự do.

Chu kì và tần số dao động riêng của mạch dao động

Chu kì và tần số dao động điện từ tự do trong mạch dao động gọi là chu kì và tần số dao động riêng của mạch dao động.

Công thức:

$T=2\pi \sqrt{LC}$

$f=\frac{1}{2\pi \sqrt{LC}}$

Ví dụ. Một mạch dao động gồm có một cuộn cảm có độ tự cảm $L=10^{-3}H$ và một tụ điện có điện dung điều chỉnh được trong khoảng từ 4pF đến 400pF( $1pF=10^{-12}F$ ). Mạch này có thể có những tần số riêng như thế nào?

Lời giải

Từ công thức

$f=\frac{1}{2\pi \sqrt{LC}}\rightarrow C=\frac{1}{4\pi ^{2}Lf^{2}}$

Theo đề bài, ta có

$4.10^{-12}F\leq C\leq 400.10^{-12}F$

$\rightarrow 4.10^{-12}F\leq \frac{1}{4\pi ^{2}Lf^{2}}\leq 400.10^{-12}F$

với tần số f luôn dương

$\Rightarrow 2,52.10^{5}Hz\leq f\leq 2,52.10^{6}Hz$

NHƯNG với phần suy luận như tuy chặt chẽ nhưng lại rắc rối, dễ nhầm lẫn, mất thời gian cho nên ta sẽ làm như sau:

Vì tần số luôn nghịch biến theo C và L nên $f_{max}$ ứng với $C_{min}$ , $L_{min}$ và $f_{min}$ ứng với $C_{max},L_{max}$

$\Rightarrow f_{min}= \frac{1}{2\pi \sqrt{LC_{max}}}=\frac{1}{2\pi \sqrt{10^{-3}.400.10^{-12}}}=2,52.10^{5}Hz$

$\Rightarrow f_{max}=\frac{1}{2\pi \sqrt{LC_{min}}}=\frac{1}{2\pi \sqrt{10^{-3}.4.10^{-12}}}=2,52.10^{6}Hz$

Tần số biến đổi từ $2,52.10^{5}Hz$ đến $2,52.10^{6}Hz$

III. Năng lượng điện từ

Tổng của năng lượng điện trường và năng lượng từ trường của mạch gọi là năng lượng điện từ.
Nếu không có sự tiêu hao năng lượng thì năng lượng điện từ trong mạch sẽ được bảo toàn.

IV. Bài tập

Bài tập 1: Một mạch dao động gồm tụ điện có điện dung C=25nF và cuộn dây thuần cảm có độ tự cảm L=4m H. Giả sử ở thời điểm ban đầu cường độ dòng điện đạt giá trị cực đại và bằng 40mA. Tìm biểu thức cường độ dòng điện, biểu thức điện tích trên các bản tụ điện và biểu thức điện áp giữa hai bản tụ.

Lời giải.

Bài tập 2: Một mạch dao động LC lý tưởng gồm cuộn thuần cảm L và hai tụ điện C giống nhau mắc nối tiếp. Mạch đang hoạt động thì ngay tại thời điểm năng lượng điện trường trong tụ gấp đôi năng lượng từ trường trong cuộn cảm, một tụ bị đánh thủng hoàn toàn. Điện áp cực đại ở hai đầu cuộn cảm đó sẽ bằng bao nhiêu lần so với ban đầu?

Lời giải.

Bài tập 3: Mạch dao động điện từ LC lí tưởng gồm cuộn cảm thuần có độ tự cảm L=1mH và tụ điện có điện dung $C=0,1\mu F$ . Dao động điện từ riêng của mạch có tần số góc là bao nhiêu?
Lời giải.

Bài tập 4: Xét hai mạch dao động điện từ lí tưởng. Chu kì dao động riêng của mạch thứ nhất là $T_{1}$ , của mạch thứ hai là $T_{2}=2T_{1}$ . Ban đầu điện tích trên mỗi bản tụ điện có độ lớn cực đại $Q_{0}$ . Sau đó mỗi tụ điện phóng điện qua cuộn cảm của mạch. Khi điện tích trên mỗi bản tụ của hai mạch đều có độ lớn bằng q $\left ( 0<q<Q_{0} \right )$ thì tỉ số độ lớn cường độ dòng điện trong mạch thứ nhất và độ lớn cường độ dòng điện trong mạch thứ hai là bao nhiêu?