Khái niệm số phức

Định nghĩa 1

  • Một số phức là một biểu thức dạng a + bi, với  \( a,b\in\mathbb{R} \) và số i thỏa mãn \( i^2=-1 \).
  • Kí hiệu số phức đó là z và viết z = a + bi. Trong đó:
    • i: kí hiệu ảo
    • a: phần thực
    • b: phần ảo
  • Tập hợp các số phức kí hiệu là \( \large \mathbb{C} \)

Chú ý:

  1. Số phức z = a + 0i có phần ảo bằng 0 được coi là số thực, \( a+0i=a\in \mathbb{R}\subset\mathbb{C} \)
  2. Số phức có phần thực bằng 0 được gọi là số ảo (hay số thuần ảo):
    z = 0 + bi = bi
  3. Số  0 = 0 + 0i vừa là số thực vừa là số ảo

Ví dụ 1: Tìm phần thực và phần ảo của các số phức \( z=3+i\sqrt2, z=-5i, z=6 \).

Bài giải

\( z=3+i\sqrt2 \) có phần thực a = 3, phần ảo \( b= \sqrt2 \).
z = -5i có phần thực a = 0, phần ảo b = -5.
z = 6 có phần thực a = 6, phần ảo b = 0.

Định nghĩa 2

Cho hai số phức  \( z=a+bi\ (a,b\in\mathbb{R}),\ z’=a’+b’i\ (a’,b’\in\mathbb{R}) \) 

\(\LARGE z=z’\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=a’\\ b=b’ \end{matrix}\right.\)

Phép cộng và phép trừ số phức

Tổng của hai số phức

Định nghĩa

Tổng của hai số phức \( z=a+bi\ (a,b\in\mathbb{R}) \) và  \( z’=a’+b’i\ (a’,b’\in\mathbb{R}) \) là số phức

\(\LARGE z+z’=a+a’+ (b+b’)i\)

 

Ví dụ 2: Tính tổng hai số phức  z = 3 + 2i và  z’ = -5 + 4i

Bài giải

Ta có: z +z’ = 3 – 5 + (2+4)i = -2 + 6i

Số đối

Với mỗi số phức z = a + bi, số -z được gọi là số đối của z, kí hiệu -z = -a – bi, ta có z + (-z) = (-z) + z = 0

Hiệu của hai số phức

Hiệu của hai số phức \( z=a+bi\ (a,b\in\mathbb{R}) \) và  \( z’=a’+b’i\ (a’,b’\in\mathbb{R}) \) là số phức:

\(\LARGE z-z’=a-a’+(b-b’)i\)

Ví dụ 3: Tìm hiệu hai số phức z = -1 + 2i và z’ = -2 + i.

Bài giải

Ta có: z – z’ = -1 – (-2) + (2-1)i = 1 + i

Phép nhân số phức

Tích của hai số phức \( z=a+bi\ (a,b\in\mathbb{R})\) và \( z’=a’+b’i\ (a’,b’\in\mathbb{R}) \) là số phức: 

\(\LARGE zz’=aa’-bb’+(ab’+a’b)i\)

Nhận xét: Phép cộng, trừ, nhân các số phức được thực hiện theo quy tắc cộng, trừ, nhân đa thức (thay \( i^2=-1 \)) trong kết quả rồi thu gọn).

Ví dụ 4: Xét số phức \( z=x+yi\ (x,y\in\mathbb{R}) \). Tính số phức \( z^{2} \) và tìm tập hợp các điểm của mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z sao cho \( z^{2} \) là số thực.

Bài giải

Ta có:  \( z^2=(x+yi)^2=x^2-y^2+2xyi \) \( z^{2} \) là số thực

\( \Leftrightarrow 2xy=0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=0\\ y=0\end{array} \right.\)

Vậy tập hợp điểm thỏa mãn yêu cầu bài toán là trục tung hoặc trục hoành.

Chú ý: Do phép cộng và phép nhân số phức có tính chất tương tự như phép cộng và phép nhân các số thực nên ta vẫn vận dụng các quy tắc tính toán quen thuộc.

Số phức liên hợp và mô-đun của số phức

Số phức liên hợp

Số phức liên hợp của  \( z=a+bi\ (a,b\in\mathbb{R}) \) là số phức a – bi và được kí hiệu là \( \overline{z} \).

Như vậy: \( \overline{z}=\overline{a+bi}=a-bi \)

Nhận xét:

  • Ta có \(\overline{\overline{z}}=z \) nên người ta còn nói \(\overline{z} \) và z là hai số phức liên hợp với nhau
  • Số phức z là số thực khi và chỉ khi \( z=\overline{z} \)
  • \( \overline{z+z’}=\overline{z}+\overline{z’} \)
  • \( \overline{z.z’}=\overline{z}.\overline{z’} \)
  • \( z.\overline{z}=a^2+b^2=\left |z \right |^2 \)

Mô-đun của số phức

Mô đun của số phức \( z=a+bi\ (a,b\in\mathbb{R}) \) là một số thực không âm \( \sqrt{a^2+b^2} \) và kí hiệu là |z|
Như vậy: \( z=a+bi\Rightarrow \left |z \right |=\sqrt{z.\overline{z}}=\sqrt{a^2+b^2} \)

Ví dụ 5: Tìm mô-đun của số phức \( z=2-i\sqrt7\)

Bài giải

Ta có: \(\left |z \right |=\sqrt{2^2+(-\sqrt{7})^2}=\sqrt9=3 \)

Nhận xét:
– Nếu z là số thực thì mô-đun của z là giá trị tuyệt đối của số thực đó
– \( \left | z \right |=\left | \overline{z} \right |,\forall z \)

Phép chia cho số phức khác 0

Định nghĩa

Số nghịch đảo của số phức z ≠ 0 là số \( z^{-1}=\frac{1}{\left | z \right |^2}.\overline{z} \)

Thương \( \frac{z’}{z} \) của phép chia số phức z’ cho số phức z khác 0 là tích của z’ với số phức nghịch đảo của z, tức là \( \frac{z’}{z}=z’.z^{-1} \).

Như vậy, nếu z ≠ 0 thì \( \frac{z’}{z}=\frac{z’.\overline{z}}{\left | z \right |^2}\)

Ví dụ 6: Tính \( \frac{3+2i}{1+i} \)

Bài giải

Ta có:  \( \frac{3+2i}{1+i}=\frac{(3+2i)(1-i)}{(1+i)(1-i)}=\frac{5+i}{2}=\frac{5}{2}+\frac{1}{2}i \)

Nhận xét:

  • Với z ≠ 0, ta có: \( \frac{1}{z}=z^{-1} \)
  • Với mọi số phức z.z’, khi z ≠ 0 thì \( \left | \frac{z’}{z} \right |=\frac{\left |z’ \right |}{\left |z \right |} \)
  • \( \frac{z’}{z} \)  là số phức w sao cho z.w = z’. Từ đó có thể nói phép chia cho số phức khác 0 là phép toán ngược của phép nhân.

Biểu diễn hình học của số phức

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, mỗi số phức z = a + bi đều được biểu diễn bởi một điểm M (a;b). Ngược lại, mỗi điểm M (a;b) biểu diễn một số phức z = a + bi.

Kí hiệu: M (a + bi) hay M(z)

Mặt phẳng tọa độ biểu diễn các số phức được gọi là mặt phẳng phức.

Chú ý:

  1. Gốc tọa độ O biểu diễn số 0.
  2. Trục hoành Ox biểu diễn các số thực nên trục Ox được gọi là trục thực.
  3. Trục tung Oy biểu diễn các số ảo nên trục Ox được gọi là trục ảo.
  4. Các điểm M (a; b), M’ (a; -b) biểu diễn z và \( \) \overline{z} đối xứng với nhau qua trục hoành Ox.

Bài toán: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, hãy tìm tập hợp các điểm M (x; y) biểu diễn số phức z = x + yi thỏa mãn điều kiện cho trước.

  1. Gọi M (x; y) là điểm biểu diễn số phức z = x + yi.
  2. Biến đổi điều kiện để tim mối liên hệ giữa x và y rồi kết luận

Người đóng góp
Comments to: Bài 1,2,3: Số phức