Bài 2: Hoán vị - Chỉnh hợp - Tổ hợp

Hoán vị

Ví dụ 1: Có mấy cách xếp để xếp ba bạn A, B, C vào một bàn dài gồm ba ghế?

Bài giải

Số cách xếp vào ghế đầu tiên: 3 cách.

Số cách xếp vào ghế thứ hai: 2 cách.

Số cách xếp vào ghế thứ ba: 1 cách.

Vậy theo quy tắc nhân, có 3.2.1=6 cách xếp.

Từ ví dụ trên, ta nói: Mỗi cách xếp chỗ ngồi cho ba bạn trên được gọi là một hoán vị vị trí của ba bạn

Định nghĩa

Cho tập hợp A gồm n phần tử (n lớn hơn bằng 1). Khi sắp xếp n phần tử này theo một thứ tự, ta được một hoán vị các phần tử của tập hợp A.

Số các hoán vị của một tập hợp có n phần tử là:

$P_{n} = n! = 1.2.3 . . . (n - 1) . n$

Chỉnh hợp

Ví dụ 2: Có bao nhiêu cách chọn 3 trong 5 bạn và sắp ngồi vào 3 ghế trên một bàn dài?

Bài giải

Số cách xếp vào ghế đầu tiên: 5 cách.

Số cách xếp vào ghế thứ hai: 4 cách.

Số cách xếp vào ghế thứ ba: 3 cách.

Vậy theo quy tắc nhân, có 5.4.3=60 cách xếp.

Từ ví dụ trên, ta nói: mỗi cách chọn và xếp vị trí cho ba bạn được gọi là một chỉnh hợp chập 3 của 5.

Định nghĩa

Cho tập hợp A có n phần tử và cho số nguyên k với n lớn hơn bằng k lớn hơn bằng 1. Khi lấy k phần từ từ A và sắp xếp chúng theo một thứ tự, ta được một chỉnh hợp chập k của n phần tử của A. (Gọi tắt là một chỉnh hợp n chập k của A).

Số các chỉnh hợp chập k của một tập hợp có n phần tử là:

$ A^{k}_{n} = \frac{n!}{n-k}!, 1 \leq k \leq n $

Có bao nhiêu cách xếp 3 bạn học sinh vào 2 ghế?

Ví dụ 3: Trong mặt phẳng cho 10 điểm phân biệt. Có bao nhiêu vector khác $ \vec{0} $ có điểm đầu và điểm cuối thuộc tập các điểm đã cho

Bài giải

Mỗi vector là một cách chọn và xếp 2 trong 10 điểm đã cho, nên mỗi cách chọn là một chỉnh hợp chập 2 của 10 phần tử.

Số vector thỏa đề là:

$ A^{2}_{10} = \frac{10!}{(10-2)!} = 90 $

Chú ý:

$ a^{n}_{n} = n! $
Quy ước: $ 0! = 1, A^{0}_{n} = 1 $

Tổ hợp

Cho tập hợp A có n phần từ và cho số nguyên với $ 1 \leq k \leq n $. Mỗi tập hợp con của A có k phần từ được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử của X (Gọi tắt là tổ hợp chập k của X)

Số các tổ hợp chập k của một tập hợp có n phần tử là:

$ C^{k}_{n} = \frac{A^{k}_{n}}{k!} = \frac{n!}{(n-k)!k!} $

Ví dụ 4: Trong không gian cho một tập hợp X gồm 10 điểm, trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Hỏi có bao nhiêu đường thẳng và tam giác được tạo thành?

Bài giải

Mỗi đường thẳng được tạo thành là một cách chọn 2 trong 10 điểm tương đương với một tổ hợp chập 2 của 10 phần từ

Ta có: Số đường thẳng là $ C^{2}_{10} = 45 $ đường thẳng

Mỗi tam giác được tạo thành là một cách chọn 3 trong 10 điểm tương đương với một tổ hợp chập 3 của 10 phần từ

Ta có: Số tam giác tạo thành là $ C^{3}_{10} = 120 $ tam giác.

Tính chất:

$ C^{n}_{k} = C_{n}^{n – k} $
$ C^{k – 1}_{n – 1} + C^{k}_{n – 1} = C^{k}_{n} $

Áp dụng giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình

Các kí hiệu và công thức	Điều kiện
n!	$n \in ℕ$
$ P_n = 𝑛! $	$n \in ℕ *$
$ A^{k}_{n} = \frac{n!}{n-k}! $	$\{\begin{matrix} n, k \in ℕ, \\ 0 \leq k \leq n \end{matrix}$
$ C^{k}_{n}= \frac{n!}{(n-k)!k!} $	$\{\begin{matrix} n, k \in ℕ, \\ 0 \leq k \leq n \end{matrix}$
$ C^{n}_{k} = C_{n}^{n – k} $	$\{\begin{matrix} n, k \in ℕ, \\ 0 \leq k \leq n \end{matrix}$

Ví dụ 5: Giải phương trình $ C^{n}_{4n + 1} – C^{n}_{3n} = 7(n + 3) $

Bải giải

Điều kiện: n là số nguyên dương

$ C^{n}_{4n + 1} – C^{n}{3n} = 7(n + 3) $ $ \Leftrightarrow \frac{(n + 4)!}{3!(n + 1)!} – \frac{(n + 3)!}{3!n! – 7(n + 3)} = 0 $ $ \Leftrightarrow \frac{(n + 4)(n + 3)(n + 2)}{6} – \frac{(n + 3) (n + 2)(n + 1)}{6} – 7(n + 3) = 0 $ $ \Leftrightarrow (n + 4)(n + 3)(n + 2)- (n + 3) (n + 2)(n + 1) – 42(n + 3) = 0 $ $ \Leftrightarrow (n + 4)(n + 2)- (n + 2)(n + 1) – 42 = 0 $

Do n + 3 > 0

$ \Leftrightarrow $ n = 12