1. Một số công thức cần nhớ:

BẢNG MỘT SỐ NGUYÊN HÀM THƯỜNG GẶP

Lưu ý: nhớ rằng họ nghiệm của nguyên hàm phải có ‘+ C’ ở phía cuối.

2. Ba phương pháp tính nguyên hàm:

1. Phương pháp 1: Đặt ẩn phụ.

Ta xác định nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến t = u(x), rồi sử dụng công thức tìm nguyên hàm của hàm hợp.

Ví dụ 1. Tìm nguyên hàm của

Giải

Đặt 2x + 3 = t, suy ra 2dx = dt,  suy ra dx = dt/2. Vậy

Lưu ý rằng đối với phương pháp này, ta phải đặt ẩn phụ sao cho khi ta tính vi phân của ẩn phụ đó, nó khớp với phần còn lại của nguyên hàm (Ví dụ bài trên khi ta đặt t = 2x + 3 thì ta sẽ tính được dt = 2dx).

2. Phương pháp 2: Xác định nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến x = v(t).

Một số dạng đổi biến x = v(t) thường gặp:

1. : đặt x =
2. : đặt x =
3. : đặt x =
4.  hoặc : đặt x = acos2t.
5. : đặt

Ví dụ 2. Tìm nguyên hàm của

Giải

Đặt x = sint, Từ đây ta suy ra dx = cost.dt

Đồng thời ta cũng suy ra:

Vậy I =

3. Phương pháp 3: Xác định nguyên hàm phằng phương pháp tích phân từng phần.

Ta có công thức tính tích phân từng phần như sau: Với u = u(x), v = v(x), ta luôn có:

Ta có một số lưu ý sau:

1. Đối với dạng : đặt u = P(x), dv = cosx.dx.
2. Đối với dạng : đặt u = P(x),
3. Đối với dạng : đặt u = lnx, dv = P(x) dx.

Ví dụ 3. Tính

Giải

Đặt u = x, dv = cosx dx, suy ra du = dx, v = sinx.

Áp dụng công thức tính tích phân từng phần, ta có: 

3. Bài tập áp dụng:

Bài 1. Tìm nguyên hàm của (ĐS: )

Bài 2. Tìm nguyên hàm của (ĐS: )

Bài 3. Tìm nguyên hàm của (ĐS: )

Bài 4. Tính tích phân bất định (ĐS: )

Bài 5. Tính tích phân bất định (ĐS: )