1. Toán lớp 12

Tính đơn điệu của hàm số

Lí thuyết:

Định nghĩa:

Giả sử K là một khoảng (một đoạn, một nửa khoảng) và f là một hàm số xác định trên K. Khi đó:

  • Hàm số f đồng biến (đơn điệu tăng) trên K nếu và chỉ nếu \( \forall x_1,x_2\in K,x_1<x_2 \) thì \( f(x_1)<f(x_2). \)
  • Hàm số f nghịch biến (đơn điệu giảm) trên K nếu và chỉ nếu \( \forall x_1,x_2\in K,x_1<x_2 \)thì \( f(x_1)>f(x_2). \)

Định lý

Định lí 1 – Điều kiện cần. Giả sử f là một hàm số có đạo hàm trên K.

  • Nếu hàm số f đồng biến trên K thì \( f'(x)>0 \) với mọi x thuộc K.
  • Nếu hàm số f nghịch biến trên K thì \( f'(x)<0 \) với mọi x thuộc K.

Định lí 2 – Điều kiện đủ. Giả sử hàm số f có đạo hàm tên K.

  • Nếu \( f'(x)>0,\forall x\in K\) thì hàm số f đồng biến trên K.
  • Nếu \( f'(x)<0,\forall x\in K\) thì hàm số f nghịch biến trên K.
  • Nếu \( f'(x)=0,\forall x\in K\) thì hàm số f không đổi trên K.

Định lí 3. Giả sử f(x) có đạo hàm trên K và phương trình f'(x) = 0 có hữu hạn nghiệm. Khi đó:

  • f(x) đồng biến trên K \( \Leftrightarrow f'(x)\geq 0,\forall x\in K.\)\Leftrightarrow f'(x)\geq 0,\forall x\in K.
  • f(x) nghịch biến trên K \( \Leftrightarrow f'(x)\leq 0,\forall x\in K.\)

Các dạng bài tập:

Dạng 1: Tìm khoảng đơn điệu của hàm số:

Bài 1. Xét tính đơn điệu của các hàm số sau:

(a) \( y=x^3-6x^2+9x+1.\)

(b) \( y=-\frac{1}{4}x^4-x^3+\frac{1}{2}x^2+3x.\)

Bài 2. Xét tính đơn điệu của các hàm số sau:

(a) \( y=\frac{x+1}{\sqrt{x^2-x+1}}. \)

(b) \( y=\frac{x^2}{\sqrt{x^2-1}}. \)

(c) \( y=2x-\sqrt{x^2-4x-5}. \)

Ví dụ 1. Xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số 4+3x-x^2

Tập xác định: D = R.

Ta có y’ = 3 – 2x suy ra y’= 0 tương đương với x = 3/2.

Khi x = 3/2 thì y = 25/4. Vậy ta có bảng biến thiên sau:

câu a bài 1 trang 9 sgk toán giải tích 12

Dạng 2: Tìm điều kiện để hàm số đơn điệu trên một khoảng.

Bài 1. Tìm m để hàm số:

(a) \( y=\frac{1}{3}x^3+mx^2+(4m-3)x+3 \) đồng biến trên R.

(b) \( y=x^3-2mx+5 \) nghịch biến trên (- 2, 2).

Bài 2. Tìm m để hàm số:

(a) \( y=\frac{mx-m^2-1}{x+2} \) luôn tăng trên từng khoảng xác định.

(b) \( y=\frac{mx-3}{x-m+1} \) đồng biến trên (1; 2).

Ví dụ 2. Cho hàm số y = f(x)=x^3-3mx+3(2m-1)x+1. Xác định m để hàm số đồng biến trên tập xác định.

f'(x) = 2x^2-6mx+3(2m-1)

Để hàm số đồng biến suy ra \Delta \leq 0, a> 0, giải ra m = 1.

Vậy m = 1 thì hàm số đồng biến trên R.

Dạng 3. Một số bài tập trắc nghiệm.

Bài 1. Hàm số \( y=\left | x^2-4x-5 \right | \) nghịch biến trên khoảng nào?

A. (-5; -1).

B. (-1; 2); (5; \( +\infty \)).

C. (2; 5).

D. \( (-\infty;-1);(2;5). \)(-\infty;-1);(2;5).

Bài 2. Hàm số nào sau đây đồng biến trên R?

A. \( y=(x^2-1)^2-3x+2. \)

B. \( y=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}. \)

C. \( y=\frac{x}{x+1}. \)

D. y = tanx.

Bài 3. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y = (2m + 3)sinx + (2 – m)x đồng biến trên R?

A. 4.

B. 3.

C. 5.

D. 6.

Bài 4. Tìm m để phương trình \( x^2-2x+2m-3=0 \) có nghiệm thuộc [0; 9].

A. m < 2.

B. 1 < m < 2.

C. \( m\geq -30. \)

D. \( -30\leq m\leq 2. \)

Bài 5. Cho hàm số \( y=\frac{x^2-4x+m+2+3\sqrt{x^2-4x}}{\sqrt{x^2-4x}+2}. \)  Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của m để hàm số nghịch biến trên khoảng (- 4; – 1)?

A. 17.

B. 18.

C. 58.

D. 57.

Không có bình luận
Viết một bình luận Cancel
Comments to: Tính đơn điệu của hàm số

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Attach images - Only PNG, JPG, JPEG and GIF are supported.