Câu hỏi

Các giá trị lượng giác của một góc α

Giải bài 1 trang 62 sgk Hình học 10 | Để học tốt Toán 10

a. Trên nửa đường tròn lượng giác nằm phía trên trục hoành, xác định điểm M (x0; y0) sao cho \widehat{MOx} =a. Khi đó ta có:

  • sin a=y_{0}
  • cos a = x_{0}
  • tan a=\frac{y_{0}}{x_{0}}
  • cota=\frac{x_{0}}{y_{0}}

b. Gọi E, F là hình chiếu của M trên Oy, Ox. Khi a<90^{o}:

    • x_{0}>0, y_{0}>0
    • sin a = y_{0} = \frac{MF}{OM}
    • cos a=x_{0}=\frac{OF}{OM}

Mối liên hệ giữa sin (cosin) của hai góc bù nhau

Giải bài 2 trang 62 sgk Hình học 10 | Để học tốt Toán 10

Gọi M (xo; yo) nằm trên nửa đường tròn đơn vị sao cho \widehat{MOx} = a

Khi đó điểm M’ (-xo; yo) trên nửa đường tròn đơn vị sao cho \widehat{xOM'} = 180^{o} -a

Ta có:

    • sina=y_{0} = sin(180^{o} -a)
    • cosa = x_{0} = -(-x_{0}) = -cos(180^{o}-a)

Tích vô hướng của hai vecto và tính chất

Tích vô hướng của hai vecto \vec{a}\vec{b }:

\vec{a}.\vec{b}=\left | \vec{a} \right |.\left | \vec{b} \right |.cos\left ( \vec{a};\vec{b} \right )

-1\leq cos\left ( \vec{a} \right;\vec{b} )\leq 1 nên ta có:

-\left | \vec{a} \right |.\left | \vec{b} \right |\leq \vec{a}.\vec{b}\leq\left | \vec{a} \right |.\left | \vec{b} \right |

  • \vec{a}.\vec{b} đạt giá trị lớn nhất là \left | \vec{a} \right |.\left | \vec{b} \right | khi cos\left (\vec{a};\vec{b} \right )=1\Leftrightarrow \left (\vec{a};\vec{b} \right )=0\vec{a}\vec{b } cùng hướng.
  • \vec{a}.\vec{b} đạt giá trị nhỏ nhất là -\left | \vec{a} \right |.\left | \vec{b} \right | khi cos\left (\vec{a};\vec{b} \right )=-1\Leftrightarrow \left (\vec{a};\vec{b} \right )=180^0\vec{a}\vec{b } ngược hướng.

Định lý Cosin trong tam giác

Tam giác ABC có AB = c, BC = a, AB = c thì ta có :

cosA=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}

cosB=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}

cosC=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}

Định lý Sin và hệ quả

Trong tam giác ABC ta luôn có:

\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}=2R (Định lý Sin)

 

\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a=2R.sinA\\ b=2R.sinB\\ c=2R.sinC \end{matrix}\right.

Quan hệ của a2 và b2 + c2 khi góc A thay đổi?

Trong tam giác ABC, theo Hệ quả định lý Cô sin ta luôn có :

cosA=\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}

Mà ta có 2.bc > 0 nên cos A luôn cùng dấu với b2 + c2 – a2.

  • Góc A nhọn ⇔ cos A > 0 ⇔ b2 + c2 – a2 > 0 ⇔ a2 < b2 + c2.
  • Góc A tù ⇔ cos A < 0 ⇔ b2 + c2 – a2 < 0 ⇔ a2 > b2 + c2.
  • Góc A vuông ⇔ cos A = 0 ⇔ b2 + c2 – a2 = 0 ⇔ a2 = b2 + c2.

Bài tập áp dụng

Bài tập 1

Đề bài: Trong mặt phẳng Oxy cho vecto \vec{a}=(-3;1) và vecto \vec{b}=(2;2). Hãy tính tích vô hướng \vec{a}.\vec{b}.

Giải

Ta có:

\vec{a}.\vec{b}=a_{1}.b_1+a_2.b_2

Nên:

\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=(-3).2+(1.2)=-4

Bài tập 2

Đề bài: Cho tam giác ABC có \widehat{A}=60^0, BC = 6. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Giải

Áp dụng định lý Sin trong tam giác ABC ta có:

\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}=2R

Mà: 

\widehat{A}=60^0,a=BC=6.

Do đó:

2R=\frac{6}{sin60^0}

\Rightarrow R=\frac{6}{2sin60^0}=\frac{6}{\sqrt{3}}=2\sqrt{3}

Vậy bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác bằng 2√3.

Bài tập 3

Đề bài: Cho tam giác ABC có a = 12, b = 16 và c = 20.Tính diện tích S tam giác, chiều cao ha, các bán kính R, r của các đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác và đường trung tuyến ma của tam giác.

Giải

Giải bài 10 trang 62 sgk Hình học 10 | Để học tốt Toán 10

  • Diện tích tam giác: S = \frac{1}{2}.a.b = \frac{1}{2}.12.16 = 96 (đvdt)
  • Chiều cao ha: ha = AC = b = 16.
  • Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là trung điểm của AB.
  • Bán kính đường tròn ngoại tiếp R = \frac{AB}{2}=\frac{c}{2} = 10.
  • Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác: S = p.r ⇒ r = \frac{S}{p} trong đó S = 96 và p = \frac{a+b+c}{2} = 24 ⇒ r = 4.
  • Đường trung tuyến ma:

m_{a}^{2}=\frac{2(b^{2}+c^{2})-a^{2}}{4}=292\Rightarrow m_{a}=\sqrt{292}.

Bài tập 4

Đề bài: Trong tập hợp các tam giác có hai cạnh là a và b. Tìm tam giác có diện tích lớn nhất.

Giải

Diện tích tam giác :

S = \frac{1}{2}.ab.sinC.

Mà ta có:

0 < sin C < 1 nên 0 < S ≤ \frac{1}{2}.ab

Vậy Max S = \frac{1}{2}.ab

Dấu “=” xảy ra khi sin C = 1 ⇔ C = 90º.

Vậy trong các tam giác có hai cạnh a và b, tam giác vuông có diện tích lớn nhất bằng \frac{1}{2}.ab.

Bài tập 5

Đề bài: Từ hệ thức a2 = b2 + c2 – 2bc.cos A trong tam giác. Hãy suy ra định lý Py – ta – go.

Giải

Giả sử tam giác ABC vuông tại A, suy ra góc A = 90º, đặt BC = a, CA = b, AB = c

Theo định lý Cô sin trong tam giác ta có:

a2 = b2 + c2 – 2bc.cos A = b2 + c2 – 2bc.cos 90º = b2 + c2 – 2bc.0 = b2 + c2 .

Vậy trong tam giác ABC vuông tại A thì a2 = b2 + c2 (Định lý Pytago).

 

Người đóng góp
Không có bình luận
Viết một bình luận Cancel
Comments to: Ôn tập chương 2

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Attach images - Only PNG, JPG, JPEG and GIF are supported.