Bài 2: Phương trình mặt phẳng

Vector pháp tuyến của mặt phẳng và phương trình mặt phẳng

Vector $\vec{n}\neq 0$ được gọi là vector pháp tuyến của mặt phẳng $(\alpha)$ nếu nó nằm trên đường thẳng vuông góc với $(\alpha)$ .

Mặt phẳng $(\alpha)$ qua $M(x_0;y_0;z_0)$ có vector pháp tuyến là $\vec{n}=(A;B;C)$ có phương trình là:

$\LARGE A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0$

Phương trình tổng quát của mặt phẳng $(\alpha)$ có vector pháp tuyến là $\vec{n}=(A;B;C)$ là:

$\LARGE Ax+By+Cz+D=0$ với $\LARGE A^2+B^2+C^2>0$

Mở rộng:

Nếu $\vec{n}$ là vector pháp tuyến của mặt phẳng $(\alpha)$ thì $k.\vec{n}$ cũng là vector pháp tuyến của mặt phẳng $(\alpha)$ .
Một mặt phẳng hoàn toàn được xác định nếu biết một điểm và một vector pháp tuyến của nó.

Một số trường hợp đặc biệt

Cho mặt phẳng $(\alpha)$ : $Ax+By+Cz+D=0$ . Ta có:

$(\alpha)$ qua $O \Leftrightarrow D=0$
$(\alpha)$ song song hay chứa trục $Ox\Leftrightarrow A=0$
$(\alpha)$ song song hay trùng với $(Oxy)\Leftrightarrow A=B=0$

Phương trình đoạn chắn:

Nếu mặt phẳng $(\alpha)$ cắt 3 trục tọa độ lần lượt tại 3 điểm $A(a;0;0),\ B(0;b;0),\ C(0;0;c)$ thì phương trình mặt phẳng $(\alpha)$ là:

$\LARGE \frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1$

Ví dụ 3: Viết phương trình mặt phẳng $(\alpha)$ đi qua hình chiếu của điểm $M(2;5;4)$ lên các trục tọa độ.

Bài giải

Gọi $A,B,C$ lần lượt là hình chiếu của điểm $M(2;5;4)$ lên các trục $Ox,Oy,Oz$ .

Khi đó, $\left\{\begin{matrix} A(2;0;0)\\ B(0;5;0)\\ C(0;0;4) \end{matrix}\right.$

Phương trình mặt phẳng $(\alpha)$ có dạng: $(\alpha):\frac{x}{2}+\frac{y}{5}+\frac{z}{4}=1$

Vị trí tương đối giữa hai mặt phẳng

Cho 2 mặt phẳng: $\left\{\begin{matrix} (\alpha):Ax+By+Cz+D=0\\ (\beta):A'x+B'y+C'z+D'=0 \end{matrix}\right.$

$(\alpha),(\beta)$ cắt nhau $\Leftrightarrow A:B:C\neq A':B':C'$
$(\alpha),(\beta)$ song song $\Leftrightarrow \frac{A}{A'}=\frac{B}{B'}=\frac{C}{C'}\neq\frac{D}{D'}$
$(\alpha),(\beta)$ trùng nhau $\Leftrightarrow \frac{A}{A'}=\frac{B}{B'}=\frac{C}{C'}=\frac{D}{D'}$

Quy ước: Khi mẫu bằng 0 thì tử tương ứng bằng 0

Ví dụ 4: Xét vị trí tương đối 2 mặt phẳng: $\left\{\begin{matrix} (\alpha):2x+3y-5z+4=0\\ (\beta):x+2y-2z+3=0 \end{matrix}\right.$

Bài giải

Vì $2:3:-5\neq 1:2:-2$ nên hai mặt phẳng đã cho cắt nhau

Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng

Khoảng cách từ M đến mặt phẳng $(\alpha)$ : $Ax+By+Cz+D=0$ được tính theo công thức:

$\LARGE d[M;(\alpha)]=\frac{\left | Ax_M+By_M+Cz_M+D \right |}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$

Góc giữa hai mặt phẳng

Cho 2 mặt phẳng $(\alpha)$ có vector pháp tuyến $\overrightarrow{n_\alpha}$ và $(\beta)$ có vector pháp tuyến $\overrightarrow{n_\beta}$

Gọi $\varphi$ là góc giữa $(\alpha)$ và $(\beta)$ $(0^0\leq \varphi \leq 90^0)$

$\LARGE \cos{\varphi}=\frac{\left | \overrightarrow{n_\alpha}.\overrightarrow{n_\beta} \right |}{\left | \overrightarrow{n_\alpha} \right |.\left | \overrightarrow{n_\beta} \right |}$

Ví dụ 5: Tính góc giữa 2 mặt phẳng: $\left\{\begin{matrix} (\alpha):2x-y+2z-19=0\\ (\beta):x-y+6=0 \end{matrix}\right.$

Bài giải

Ta có: $\left\{\begin{matrix} \overrightarrow{n_\alpha}=(2;-1;2)&\Rightarrow \left | \overrightarrow{n_\alpha} \right |=3\\ \overrightarrow{n_\beta}=(1;-1;0)&\Rightarrow \left |\overrightarrow{n_\beta} \right |=\sqrt{2}\end{matrix}\right.$

$\cos{\varphi}=\frac{\left | \overrightarrow{n_\alpha}.\overrightarrow{n_\beta} \right |}{\left | \overrightarrow{n_\alpha} \right |.\left | \overrightarrow{n_\beta} \right |}=\frac{\left | 2.1+(-1).(-1)+2.0 \right |}{3.\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$